Олимпиадные задачи из источника «1961 год» - сложность 3 с решениями

Дан произвольный набор из +1 и -1 длиной 2^k. Из него получается новый по следующему правилу: каждое число умножается на следующее за ним; последнее 2^k-тое число умножается на первое. С новым набором из 1 и -1 проделывается то же самое и т.д.

Доказать, что в конце концов получается набор, состоящий из одних единиц.

Расстояние от фиксированной точки<i>P</i>плоскости до двух вершин<i>A</i>,<i>B</i>равностороннего треугольника<i>ABC</i>равны<i>AP</i>= 2;<i>BP</i>= 3. Определить, какое максимальное значение может иметь отрезок<i>PC</i>.

В прямоугольник со сторонами 20 и 25 бросают 120 квадратов со стороной

1. Доказать, что в прямоугольник можно поместить круг диаметра 1, не пересекающийся ни с одним из квадратов.

Доказать, что для любых трёх бесконечных последовательностей натуральных чисел<div align="CENTER"> <table> <tr valign="MIDDLE"><td align="RIGHT"><i>a</i>₁...</td> <td align="CENTER"><i>a</i>_n</td> <td align="LEFT">...</td> </tr> <tr valign="MIDDLE"><td align="RIGHT"><i>b</i>₁...</td> <td align="CENTER"><i>b</i>_n</td> <td align="LEFT">...</td> </tr> <tr valign="MIDDLE"><td align="RIGHT"><i>c</i><sub>1</sub&...

Коля и Петя делят 2<i>n</i>+ 1 орехов,<i>n</i>$\ge$2, причём каждый хочет получать возможно больше. Предполагаются три способа дележа (каждый проходит в три этапа).

1-й этап: Петя делит все орехи на две части, в каждой не меньше двух орехов.

2-й этап: Коля делит каждую часть снова на две, в каждой не меньше одного ореха.

1-й и 2-й этапы общие для всех трёх способов.

3-й этап: При первом способе Коля берёт большую и меньшую части;

При втором способе Коля берёт обе средние части;

При третьем способе Коля берёт либо большую и меньшую части, либо обе средние части, но за право выбора отдаёт Пете один орех.

Определить, какой способ самый выгодный для Коли и какой наименее выгоден для него.

В клетки таблицы <i>m×n</i> вписаны некоторые числа. Разрешается одновременно менять знак у всех чисел некоторого столбца или некоторой строки. Доказать, что многократным повторением этой операции можно превратить данную таблицу в такую, у которой суммы чисел, стоящих в каждом столбце и каждой строке, неотрицательны.

Дана четвёрка ненулевых чисел<i>a</i>,<i>b</i>,<i>c</i>,<i>d</i>. Из неё получается новая<i>ab</i>,<i>bc</i>,<i>cd</i>,<i>da</i>по следующему правилу: каждое число умножается на следующее, четвёртое — на первое. Из новой четвёрки по этому же правилу получается третья и т.д. Доказать, что в полученной последовательности четвёрок никогда не встретится вновь четверка<i>a</i>,<i>b</i>,<i>c</i>,<i>d</i>, кроме случая, когда<i>a</i>=<i>b</i>=<i>c</i>=<i>d</i>= 1.

Дана таблица 4×4 клетки, в некоторых клетках которой поставлено по звёздочке. Показать, что можно так расставить семь звёздочек, что при вычёркивании любых двух строк и любых двух столбцов этой таблицы в оставшихся клетках всегда была бы хотя бы одна звёздочка. Доказать, что если звёздочек меньше, чем семь, то всегда можно так вычеркнуть две строки и два столбца, что все оставшиеся клетки будут пустыми.

Доказать, что среди любых 39 последовательных натуральных чисел обязательно найдётся такое, у которого сумма цифр делится на 11.

В квадрате<i>ABCD</i>на стороне<i>AB</i>взята точка<i>P</i>, на стороне<i>BC</i>— точка<i>Q</i>, на стороне<i>CD</i>— точка<i>R</i>, на стороне<i>DA</i>—<i>S</i>; оказалось, что фигура<i>PQRS</i>— прямоугольник. Доказать, что тогда прямоугольник<i>PQRS</i>— либо квадрат, либо обладает тем свойством, что его стороны параллельны диагоналям квадрата.

Стороны произвольного выпуклого многоугольника покрашены снаружи. Проводится несколько диагоналей многоугольника, так, что никакие три не пересекаются в одной точке. Каждая из этих диагоналей тоже покрашена с одной стороны, т.е. с одной стороны отрезка проведена узкая цветная полоска. Доказать, что хотя бы один из многоугольников, на которые разбит диагоналями исходный многоугольник, весь покрашен снаружи.

<i>k</i>человек ехали в автобусе без кондуктора, и у всех них были монеты только достоинством в 10, 15, 20 копеек. Известно, что каждый уплатил за проезд и получил сдачу. Доказать, что наименьшее число монет, которое они могли иметь, равно<i>k</i>+$\left[\vphantom{\frac{k+3}{4}}\right.$${\frac{k+3}{4}}$$\left.\vphantom{\frac{k+3}{4}}\right]$, где значок [<i>a</i>] означает наибольшее целое число, не превосходящее<i>a</i>.<b>Примечание.</b>Проезд в автобусе стоит 5 копеек.

На плоскости проведено несколько полос разной ширины. Никакие две из них не параллельны. Как нужно сдвинуть их параллельно самим себе, чтобы площадь их общей части была наибольшей?

На плоскости дано<i>N</i>точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Если<i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>— любые три из них, то внутри треугольника<i>ABC</i>нет ни одной точки из данных. Доказать, что эти точки можно занумеровать так, что многоугольник<i>A</i>₁<i>A</i>₂...<i>A</i>_nбудет выпуклым.

В автобусе без кондуктора едут 4<i>k</i>пассажиров. У каждого из них есть только монеты в 10, 15, 20 копеек. Доказать, что если общее число монет меньше 5<i>k</i>, то пассажиры не смогут правильно расплатиться за проезд. Для числа монет 5<i>k</i>построить пример, когда возможен правильный расчет.<b>Примечание.</b>Проезд в автобусе стоит 5 копеек.

Два отрезка натурального ряда из 1961 числа подписаны один под другим. Доказать, что каждый из них можно так переставить, что если сложить числа, стоящие одно под другим, получится снова отрезок натурального ряда.

Играют двое; один из них загадывает набор из целых чисел (<i>x</i>₁,<i>x</i>₂,...,<i>x</i>_n) -- однозначных, как положительных, так и отрицательных. Второму разрешается спрашивать, чему равна сумма<i>a</i>₁<i>x</i>₁+ ... +<i>a</i>_n<i>x</i>_n, где(<i>a</i>₁...<i>a</i>_n) -- любой набор. Каково наименьшее число вопросов, за которое отгадывающий узнает задуманный набор?

На шахматной доске выбраны две клетки одинакового цвета.

Доказать, что ладья, начиная с первой, может обойти все клетки по разу, а на второй выбранной клетке побывать два раза.

Имеется 100 точек на плоскости, причём расстояние между любыми двумя из них не превосходит 1, и если<i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>— любые три точки из данных, то треугольник<i>ABC</i>— тупоугольный. Доказать, что можно провести такую окружность радиуса 1/2, что все данные точки лежат внутри неё или на ней самой.

Дан остроугольный треугольник<i>A</i>₀<i>B</i>₀<i>C</i>₀. Пусть точки<i>A</i>₁,<i>B</i>₁,<i>C</i>₁— центры квадратов, построенных на сторонах<i>B</i>₀<i>C</i>₀,<i>C</i>₀<i>A</i>₀,<i>A</i>₀<i>B</i>₀. С треугольником<i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁делаем то же самое. Получаем треуг...