Олимпиадные задачи из источника «1949 год» для 9 класса

Доказать, что если у шестиугольника противоположные стороны параллельны и диагонали, соединяющие противоположные вершины, равны, то вокруг него можно описать окружность.

Докажите, что к квадрату нельзя приложить более 8 не налегающих друг на друга квадратов.

В данный треугольник поместить центрально-симметричный многоугольник наибольшей площади.

Дана окружность и точка вне её; из этой точки мы совершаем путь по замкнутой ломаной, состоящей из отрезков прямых, касательных к окружности, и заканчиваем путь в начальной точке. Участки пути, по которым мы приближались к центру окружности, берём со знаком плюс'', а участки пути, по которым мы удалялись от центра, — со знаком минус''. Докажите, что для любого такого пути алгебраическая сумма длин участков пути, взятых с указанными знаками, равна нулю.

(<i>Эту задачу не решил никто из участников олимпиады</i>.)

Если имеется 100 любых целых чисел, то среди них всегда можно взять несколько (или может быть одно) так, что в сумме они дадут число, делящееся на 100. Доказать.

В произвольном (<i>выпуклом — прим. ред.</i>) шестиугольнике соединены через одну середины сторон. Докажите, что точки пересечения медиан двух образовавшихся треугольников совпадают.

Имеется 13 гирь, каждая из которых весит целое число граммов. Известно, что любые 12 из них можно так разложить на две чашки весов, по шесть гирь на каждой, что наступит равновесие. Докажите, что все гири имеют один и тот же вес.

Даны два треугольника:$\Delta$<i>ABC</i>и$\Delta$<i>DEF</i>и точка<i>O</i>. Берется любая точка<i>X</i>в$\Delta$<i>ABC</i>и любая точка<i>Y</i>в$\Delta$<i>DEF</i>; треугольник<i>OXY</i>достаивается до параллелограмма<i>OXZY</i>.

а) Докажите, что все полученные таким образом точки образуют многоугольник.

б) Сколько сторон он может иметь?

в) Докажите, что его периметр равен сумме периметров исходных треугольников.

12 полей расположены по кругу: на четырёх соседних полях стоят четыре разноцветных фишки: красная, жёлтая, зелёная и синяя.

Одним ходом можно передвинуть любую фишку с поля, на котором она стоит, через четыре поля на пятое (если оно свободно) в любом из двух возможных направлений. После нескольких ходов фишки стали опять на те же четыре поля. Как они могут при этом переставиться?

Имеется 4<i>n</i>положительных чисел, таких, что из любых четырёх попарно различных можно составить геометрическую прогрессию. Доказать, что среди этих чисел найдется<i>n</i>одинаковых.

Найти такие целые числа <i>x, y, z</i> и <i>t</i>, что  <i>x</i>² + <i>y</i>² + <i>z</i>² + <i>t</i>² = 2<i>xyzt</i>.

Дана плоская замкнутая ломаная периметра 1. Доказать, что можно начертить круг радиусом${\frac{1}{4}}$, покрывающий всю ломаную.

Доказать, что равенство  <i>x</i>² + <i>y</i>² + <i>z</i>² = 2<i>xyz</i>  для целых <i>x, y</i> и <i>z</i> возможно только при  <i>x = y = z</i> = 0.

Доказать, что если многоугольник имеет несколько осей симметрии, то все они пересекаются в одной точке.

Показать, что  27195⁸ – 10887⁸ + 10152⁸  делится на 26460.

Докажите, что отрезок, соединяющий центры вписанной и вневписанной окружностей треугольника, делится описанной окружностью пополам.