Пусть  (x, y, z, t)  – ненулевое решение. Число  x² + y² + z² + t²  чётно, поэтому среди чисел x, y, z, t чётное число нечётных чисел. Если все числа x, y, z, t нечётны, то  x² + y² + z² + t² ≡ 0 (mod 4),  но при этом 2xyzt не делится на 4. Если ровно два из чисел x, y, z, t нечётны, то  x² + y² + z² + t²  не делится на 4, а 2xyzt делится на 4. Поэтому все числа x, y, z, t чётны.

  Пусть 2ⁿ – максимальная степень двойки, на которую делятся эти числа. Тогда  x = 2ⁿu,  y = 2ⁿv,  z = 2ⁿw,  t = 2ⁿs,  причём хотя бы одно из чисел u, v, w, s нечётно. Сократив обе части уравнения на 2²ⁿ, получим  u² + v² + w² + s² = 2²ⁿ⁺¹uvws.  Но левая часть не делится на 8 (см. задачу 134944). Противоречие.

x = y = z = t = 0.