Пусть O – центр симметрии многоугольника M, расположенного внутри треугольника T,  S(T) – образ треугольника T при симметрии относительно точки O. Тогда M лежит и в T, и в S(T). Поэтому среди всех центрально симметричных многоугольников с данным центром симметрии, лежащих в T, наибольшую площадь имеет пересечение  T ∩ S(T).  Точка O лежит внутри треугольника T, так как  T ∩ S(T)  – выпуклый многоугольник.

  Пусть A₁, B₁, C₁ – середины сторон BC, CA, AB треугольника  T = ABC.  Рассмотрим два случая.

  1) Точка O лежит внутри треугольника A₁B₁C₁. Тогда пересечением  T ∩ S(T)  – шестиугольник. Пусть сторона AB делится сторонами треугольника S(T) в отношении  x : y : z,  где  x + y + z = 1.  Тогда отношение суммы площадей треугольников, прилегающих к вершинам A, B, C, к площади треугольника ABC равно  x² + y² + z².  Из неравенства между средним арифметическим и средним квадратичным (см. задачу 161402 б) следует, что

x² + y² + z² ≥ ⅓ (x + y + z)² = ⅓,  причём равенство достигается только при  x = y = z.  Последнее означает, что O – точка пересечения медиан треугольника ABC.

  2) Точка O лежит внутри треугольника AB₁C₁. В этом случае пересечением  T ∩ S(T)  является параллелограмм, причём если мы заменим точку O точкой пересечения прямых AO и B₁C₁, то площадь этого параллелограмма не уменьшится. Если же точка O лежит на стороне B₁C₁, то этот случай уже фактически был нами рассмотрен (нужно положить  x = 0).

Искомым многоугольником является шестиугольник с вершинами в точках, делящих стороны треугольника на три равные части.

Его площадь равна ⅔ площади треугольника.