Олимпиадные задачи из источника «9,10 класс, 1 тур»

Доказать, что если у шестиугольника противоположные стороны параллельны и диагонали, соединяющие противоположные вершины, равны, то вокруг него можно описать окружность.

Имеется 4<i>n</i>положительных чисел, таких, что из любых четырёх попарно различных можно составить геометрическую прогрессию. Доказать, что среди этих чисел найдется<i>n</i>одинаковых.

Найти действительные корни уравнения:<div align="CENTER"> <i>x</i>² + 2<i>ax</i> + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{16}}$ = - <i>a</i> + $\displaystyle \sqrt{a^2+x-\frac{1}{16}}$    $\displaystyle \left(\vphantom{0<a<\frac{1}{4}}\right.$0 < <i>a</i> < $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$$\displaystyle \left.\vphantom{0<a<\frac{1}{4}}\right)$. </div>

Как расположены плоскости симметрии ограниченного тела, если оно имеет две оси вращения? (Осью вращения тела называется прямая, после поворота вокруг которой на любой угол тело совмещается само с собой.)

Найти такие целые числа <i>x, y, z</i> и <i>t</i>, что  <i>x</i>² + <i>y</i>² + <i>z</i>² + <i>t</i>² = 2<i>xyzt</i>.