Из равенства  x^y = y^x  следует, что простые делители чисел x и y одни и те же, то есть     То же самое равенство показывает, что  a₁y = b₁x,  ...,  a_ny = b_nx.  Пусть для определённости  x < y.  Тогда из записанных равенств следует, что  a₁ < b₁,  ...,  a_n < b_n,  то есть  y = kx,  где  k – целое число. Подставляя равенство  y = kx  в исходное равенство  x^y = y^x,  получаем  x^kx = (kx)^x,  то есть  x^k–1 = k.  По предположению  k > 1,  а значит,  x > 1.  Ясно, что  2^2–1 = 2.  Легко также проверить, что если  x > 2  или  k > 2,  то  x^k–1 > k.

{2, 4}.