Олимпиадные задачи из источника «1948 год» для 9 класса
Может ли фигура иметь более одного, но конечное число центров симметрии?
Доказать, что в любом треугольнике имеет место неравенство:<i>R</i>$\ge$2<i>r</i>(<i>R</i>и<i>r</i>— радиусы описанного и вписанного кругов соответственно), причем равенство<i>R</i>= 2<i>r</i>имеет место только для правильного треугольника.
Решите в натуральных числах уравнение <i>x<sup>y</sup> = y<sup>x</sup></i> при <i>x ≠ y</i>.
Если число <img width="38" height="36" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/77870/problem_77870_img_2.gif"> – целое, то и число <img width="59" height="43" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/77870/problem_77870_img_3.gif"> – целое. Доказать.
На плоскости проведено<i>n</i>прямых линий. Доказать, что области, на которые эти прямые разбивают плоскость, можно так закрасить двумя красками (каждая область закрашивается только одной краской), что никакие две соседние области (т.е. области, соприкасающиеся только по отрезку прямой) не будут закрашены одной и той же краской.
Сколько цифр имеет число 2<sup>100</sup>?
Сумма обратных величин трёх натуральных чисел равна 1. Каковы эти числа?