Олимпиадные задачи из источника «1948 год» для 10 класса

Каково наибольшее возможное число лучей в пространстве, выходящих из одной точки и образующих попарно тупые углы?

Сколько различных целочисленных решений имеет неравенство  |<i>x| + |y</i>| < 100?

Поместить в куб окружность наибольшего возможного радиуса.

Найти все рациональные положительные решения уравнения  <i>x^y = y^x</i>  (<i>x ≠ y</i>).

Доказать, что в любом треугольнике имеет место неравенство:<i>R</i>$\ge$2<i>r</i>(<i>R</i>и<i>r</i>— радиусы описанного и вписанного кругов соответственно), причем равенство<i>R</i>= 2<i>r</i>имеет место только для правильного треугольника.

Решите в натуральных числах уравнение  <i>x^y = y^x</i>  при  <i>x ≠ y</i>.

Даны две треугольные пирамиды<i>ABCD</i>и<i>A'BCD</i>с общим основанием<i>BCD</i>, причем точка<i>A'</i>лежит внутри пирамиды<i>ABCD</i>. Доказать, что сумма плоских углов при вершине<i>A'</i>пирамиды<i>A'BCD</i>больше суммы плоских углов при вершине<i>A</i>пирамиды<i>ABCD</i>.

Доказать без помощи таблиц, что<div align="CENTER"> $\displaystyle {\frac{1}{\log_2\pi}}$ + $\displaystyle {\frac{1}{\log_5\pi}}$ > 2. </div>

Если число   <img width="38" height="36" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/77870/problem_77870_img_2.gif">   – целое, то и число   <img width="59" height="43" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/77870/problem_77870_img_3.gif">   – целое. Доказать.