Задача
Доказать, что в любом треугольнике имеет место неравенство:R$\ge$2r(Rиr— радиусы описанного и вписанного кругов соответственно), причем равенствоR= 2rимеет место только для правильного треугольника.
Решение
ПустьA1,B1иC1— середины сторонBC,ACиABсоответственно. При гомотетии с центром в точке пересечения медиан треугольника и коэффициентом гомотетии -1/2 описанная окружностьSтреугольникаABCпереходит в описанную окружностьS1треугольникаA1B1C1. Так как окружностьS1пересекает все стороны треугольникаABC, то можно построить треугольникA'B'C'со сторонами, параллельными сторонам треугольникаABC, для которогоS1будет вписанной окружностью. Пустьrиr'— радиусы вписанных окружностей треугольниковABCиA'B'C';RиR1— радиусы окружностейSиS1. Ясно, чтоr$\le$r'=R1=R/2. Равенство достигается, если треугольникиA'B'C'иABCсовпадают, т.е.S1— вписанная окружность треугольникаABC. В этом случаеAB1=AC1, поэтомуAB=AC. АналогичноAB=BC.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь