Олимпиадные задачи из источника «Книги, журналы» для 8 класса - сложность 2 с решениями

В шахматном турнире участвовало 8 человек, и в итоге они набрали разное количество очков (каждый играл с каждым один раз, победа – 1 очко, ничья – 0,5 очка, поражение – 0). Шахматист, занявший второе место, набрал столько же очков, сколько четверо последних набрали вместе.

Как сыграли между собой шахматисты, занявшие третье и седьмое места?

Известно, что квадратные уравнения  <i>ax</i>² + <i>bx + c</i> = 0  и  <i>bx</i>² + <i>cx + a</i> = 0  (<i>a, b</i> и <i>c</i> – отличные от нуля числа) имеют общий корень.

Найдите его.

Точка <i>O</i>, лежащая внутри правильного шестиугольника, соединена с вершинами. Возникшие при этом шесть треугольников раскрашены попеременно в красный и синий цвет. Докажите, что сумма площадей красных треугольников равна сумме площадей синих.

Пусть <i>K, L, M, N</i> – середины сторон <i>AB, BC, CD, AD</i> выпуклого четырёхугольника <i>ABCD</i>; отрезки <i>KM</i> и <i>LN</i> пересекаются в точке <i>O</i>.

Докажите, что   <i>S_AKON + S_CLOM = S_BKOL + S_DNOM</i>.

Можно ли так расставить фишки в клетках доски 8×8, чтобы в каждых двух столбцах количество фишек было одинаковым, а в каждых двух строках – различным?

<center><i> <img src="/storage/problem-media/109632/problem_109632_img_2.gif"> </i></center> Центры<i> O₁ </i>,<i> O₂ </i>и<i> O₃ </i>трех непересекающихся окружностей одинакового радиуса расположены в вершинах треугольника. Из точек<i> O₁ </i>,<i> O₂ </i>и<i> O₃ </i>проведены касательные к данным окружностям так, как показано на рисунке. Известно, что эти касательные, пересекаясь, образовали выпуклый шестиугольник, стороны которого через одну покрашены в красный и синий цвета. Докажите, что сумма длин красных отрезков равна сумме длин синих о...

Доказать, что остаток от деления простого числа на 30 – простое число или единица.

Внутри параллелограмма <i>ABCD</i> выбрана точка <i>O</i>, причём  ∠<i>OAD</i> = ∠<i>OCD</i>.  Докажите, что  ∠<i>OBC</i> = ∠<i>ODC</i>.

Дан невыпуклый несамопересекающийся четырёхугольник, который имеет три внутренних угла по 45°.

Докажите, что середины его сторон лежат в вершинах квадрата.

В выпуклый четырёхугольник <i>ABCD</i>, у которого углы при вершинах <i>B</i> и <i>D</i> – прямые, вписан четырёхугольник с периметром <i>P</i> (его вершины лежат по одной на сторонах четырёхугольника <i>ABCD</i>).

  а) Докажите неравенство  <i>P</i> ≥ 2<i>BD</i>.

  б) В каких случаях это неравенство превращается в равенство?

Диагонали параллелограмма <i>ABCD</i> пересекаются в точке <i>O</i>. Описанная окружность треугольника <i>AOB</i> касается прямой <i>BC</i>.

Докажите, что описанная окружность треугольника <i>BOC</i> касается прямой <i>CD</i>.

В треугольнике <i>ABC</i> проведены биссектрисы <i>AD</i> и <i>BE</i>. Известно, что <i>DE</i> – биссектриса угла <i>ADC</i>. Найдите величину угла <i>A</i>.

Докажите, что отрезки, соединяющие вершины треугольника с точками касания противоположных сторон с соответствующими вневписанными окружностями, пересекаются в одной точке {(точка Нагеля))

Квадрат со стороной 1 разрезали на прямоугольники, у каждого из которых отметили одну сторону.

Докажите, что сумма длин всех отмеченных сторон не может быть меньше 1.

Путешественник посетил деревню, в котором каждый человек либо всегда говорит правду, либо всегда лжёт. Жители деревни стали в круг, и каждый сказал путешественнику про соседа справа, правдив ли он. На основании этих сообщений путешественник смог однозначно определить, какую долю от всех жителей деревни составляют лжецы. Определите и вы, чему она равна.

Ваня считает, что дроби "сокращают", зачёркивая одинаковые цифры в числителе и знаменателе. Серёжа заметил, что иногда Ваня получает верные равенства, например,  ⁴⁹/₉₈ = ⁴/₈.  Найдите все правильные дроби с числителем и знаменателем, состоящими из двух ненулевых цифр, которые можно так "сократить".

Имеется n целых чисел. Доказать, что среди них найдется несколько, или быть может одно, сумма которых делится на n.

Винни-Пух решил позавтракать. Он налил себе стакан чая и добавил сливок из большого кувшина. Но как только он перемешал сливки и чай, то понял, что хочет пить чай без сливок. Недолго думая, он вылил из стакана в кувшин столько же чая со сливками, сколько сначала взял оттуда сливок. Конечно же, при переливании чай от сливок не отделился, и у Винни-Пуха образовались две смеси чая и сливок – в стакане и в кувшине. Тогда Винни-Пух задумался: чего же получилось больше – чая в кувшине со сливками или сливок в стакане чая? А как думаете вы?

Найдите сумму   1·1! + 2·2! + 3·3! + … + <i>n</i>·<i>n</i>!.

В семье шестеро детей. Пятеро из них соответственно на 2, 6, 8, 12 и 14 лет старше младшего, причём возраст каждого ребенка – простое число.

Сколько лет младшему?

Любую ли сумму из целого числа рублей больше семи, можно уплатить без сдачи денежными купюрами по 3 и 5 рублей?

На плоскости проведено <i>n</i> прямых. Каждая пересекается ровно с 1999 другими. Найдите все <i>n</i>, при которых это возможно.

Можно ли бумажный круг с помощью ножниц перекроить в квадрат той же площади? (Разрешается сделать конечное число разрезов по прямым линиям и дугам окружностей.)

а) К любому ли шестизначному числу, начинающемуся с цифры 5, можно приписать еще 6 цифр так, чтобы полученное 12-значное число было полным квадратом?

б) Тот же вопрос про число, начинающееся с 1.

в) Найдите для каждого <i>n</i> такое наименьшее  <i>k = k</i>(<i>n</i>),  что к каждому <i>n</i>-значному числу можно приписать еще <i>k</i> цифр так, чтобы полученное (<i>n+k</i>)-значное число было полным квадратом.

Рассматриваются всевозможные шестизвенные замкнутые ломаные, все вершины которых лежат на окружности.

  а) Нарисуйте такую ломаную, которая имеет наибольшее возможное число точек самопересечения.

  б) Докажите, что большего числа самопересечений такая ломаная не может иметь.