Олимпиадные задачи из источника «1974 год» для 10 класса - сложность 2-3 с решениями

Имеется несколько гирь, масса каждой из которых равна целому числу. Известно, что их можно разбить на <i>k</i> равных по массе групп.

Доказать, что не менее чем <i>k</i> способами можно убрать одну гирю так, чтобы оставшиеся гири нельзя было разбить на <i>k</i> равных по массе групп.

Существует ли такая последовательность натуральных чисел, чтобы любое натуральное число $1$, $2$, $3$, ... можно было представить единственным способом в виде разности двух чисел этой последовательности?

Рассмотрим все рациональные числа между нулём и единицей, знаменатели которых не превосходят <i>n</i>, расположенные в порядке возрастания (<i>ряд Фарея</i>). Пусть ^<i>a</i>/_<i>b</i> и ^<i>c</i>/_<i>d</i> – какие-то два соседних числа (дроби несократимы). Доказать, что  |<i>bc – ad</i>| = 1.

В таблицу <i>n×n</i> записаны <i>n</i>² чисел, сумма которых неотрицательна. Докажите, что можно переставить столбцы таблицы так, что сумма <i>n</i> чисел по диагонали, идущей из левого нижнего угла в правый верхний, будет неотрицательна.

Дан треугольник <i>C</i>₁<i>C</i>₂<i>O</i>. В нём проводится биссектриса <i>C</i>₂<i>C</i>₃, затем в треугольнике <i>C</i>₂<i>C</i>₃<i>O</i> – биссектриса <i>C</i>₃<i>C</i>₄ и так далее.

Докажите, что последовательность величин углов  γ<i>_n = C</i>_<i>n</i>+1<i>C_nO</i>  стремится к пределу, и найдите этот предел, если  <i>C</i>₁<i>OC</i><...

На отрезке [0; 1] задана<nobr>функция <i>f</i>.</nobr>Эта функция во всех точках неотрицательна,<nobr><i>f</i>(1) = 1,</nobr>наконец, для любых двух неотрицательных чисел<i>x</i>₁и<i>x</i>₂, сумма которых не<nobr>превосходит 1,</nobr>величина<nobr><i>f</i> (<i>x</i>₁ + <i>x</i>₂)</nobr>не превосходит суммы величин<nobr><i>f</i>(<i>x</i>₁)</nobr>и<nobr><i>f</i>(<i>x</i>₂).</nobr>а) Докажите для любого числа <i>x</i> отрезка [0; 1] неравенство...

Какое наибольшее количество  а) ладей;  б) ферзей можно расставить на шахматной доске 8×8 так, чтобы каждая из этих фигур была под ударом не более чем одной из остальных?

При каких натуральных  <i>n</i> ≥ 2  неравенство   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/73792/problem_73792_img_2.gif">   выполняется для любых действительных чисел <i>x</i>₁, <i>x</i>₂, ..., <i>x_n</i>, если

  а)  <i>p</i> = 1;

  б)  <i>p</i> = ⁴/₃;

  в)  <i>p</i> = ⁶/₅?

Даны два набора из <i>n</i> вещественных чисел:  <i>a</i>₁, <i>a</i>₂, ..., <i>a_n</i>  и  <i>b</i>₁, <i>b</i>₂, ..., <i>b_n</i>.  Докажите, что если выполняется хотя бы одно из двух условий:

  а) из  <i>a_i < a_j</i>  следует, что  <i>b_i ≤ b_j</i>;

  б) из  <i>a_i < a < a_j</i>,  где  <i>a</i> = ¹/_<i>n</i> (<i>a</i...

<i> n </i>отрезков<i> A₁ B₁ </i>,<i> A₂ B₂ </i>,<i> ... </i>,<i> A_n B_n </i>(рис. 5) расположены на плоскости так, что каждый из них начинается на одной из двух данных прямых, оканчивается на другой прямой, и проходит через точку<i> G </i>(не лежащую на данных прямых) — центр тяжести единичных масс, помещенных в точках<i> A₁ </i>,<i> A₂ </i>,<i> ... </i>,<i> A_n </i>. Докажите, что <center><i>

<img align="absmiddle" src="/storage/problem-me...