Олимпиадные задачи из источника «1973 год» для 11 класса - сложность 2-5 с решениями

На арене круглого цирка радиуса 10 метров бегает лев. Двигаясь по ломаной линии, он пробежал 30 километров.

Доказать, что сумма всех углов, на которые лев поворачивал, не меньше 2998 радиан.

У трёхгранного угла проведены биссектрисы плоских углов. Доказать, что попарные углы между биссектрисами либо одновременно тупые, либо одновременно прямые, либо одновременно острые.

В концах отрезка пишутся две единицы. Посередине между ними пишется их сумма – число 2. Затем посередине между каждыми двумя соседними из написанных чисел снова пишется их сумма и так далее 1973 раза. Сколько раз будет написано число 1973?

Имеется 100-значное число, состоящее из единиц и двоек. Разрешается в любых десяти последовательных цифрах поменять местами первые пять с пятью следующими. Два таких числа называются<i>похожими</i>, если одно из них получается из другого несколькими такими операциями. Какое наибольшее количество попарно непохожих чисел можно выбрать?

В центре квадрата находится полицейский, а в одной из его вершин – гангстер. Полицейский может бегать по всему квадрату, а гангстер – только по его сторонам. Известно, что отношение максимальной скорости полицейского и максимальной скорости гангстера равно:   а) 0,5;   б) 0,49;   в) 0,34;   г) &frac13;.   Сможет ли полицейский может бежать так, что в какой-то момент окажется на одной стороне с гангстером?

Доказать, что у всякого выпуклого многогранника найдутся две грани с одинаковым числом сторон.

По заданному ненулевому<i>x</i>значение<i>x</i>⁸можно найти за три арифметических действия:<nobr><i>x</i>² = <i>x</i> · <i>x</i>,</nobr><nobr><i>x</i>⁴ = <i>x</i>² · <i>x</i>²,</nobr><nobr><i>x</i>⁸ = <i>x</i>⁴ · <i>x</i>⁴,</nobr>а<nobr><i>x</i>¹⁵ —</nobr>за пять действий: первые<nobr>три —</nobr>те же самые, затем<nobr><i>x</i>⁸ · <i>x<...

На плоскости даны две точки <i>A</i> и <i>B</i>. Пусть <i>C</i> – некоторая точка плоскости, равноудалённая от точек <i>A</i> и <i>B</i>. Построим последовательность точек

<i>C</i>₁ = <i>C, C</i>₂, <i>C</i>₃, ...,  где <i>C</i>_<i>n</i>+1 – центр описанной окружности треугольника <i>ABC_n</i>. При каком положении точки <i>C</i>

  а) точка <i>C_n</i> попадёт в середину отрезка <i>AB</i> (при этом <i>C</i>_<i>n</i>+1 и дальнейшие члены последова...

Для любого натурального числа <i>n</i> сумма   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/73773/problem_73773_img_2.gif">   делится <nobr>на 2^<i>n</i>–1. Докажите это. </nobr>

Король обошёл шахматную доску, побывав на каждом поле ровно один раз и вернувшись последним ходом на исходное поле. (Король ходит по обычным правилам: за один ход он может перейти по горизонтали, вертикали или диагонали на любое соседнее поле.) Когда нарисовали его путь, последовательно соединив центры полей, которые он проходил, получилась замкнутая ломаная без самопересечений. Какую наименьшую и какую наибольшую длину может она иметь? (Сторона клетки равна единице.)

В пространстве заданы четыре точки, не лежащие в одной плоскости.

Сколько существует различных параллелепипедов, для которых эти точки служат вершинами?

На бесконечном клетчатом листе белой бумаги<i>n</i>клеток закрашены в чёрный цвет. В моменты времени<nobr><i>t</i> = 1,</nobr>2, 3,... происходит одновременное перекрашивание всех клеток листа по следующему правилу: каждая клетка<i>k</i>приобретает тот цвет, который имело в предыдущий момент большинство из трёх клеток: самой клетки<i>k</i>и её соседей справа и сверху (если две или три из этих клеток были белыми, то<i>k</i>становится белой, если две или три из них были чёрными,— то чёрной).а) Докажите, что через конечное время на листе не останется ни одной чёрной клетки. б) Докажите, что чёрные клетки исчезнут не позже, чем в момент времени <nobr><i>t</i> = <i>n</i>.</nobr>

Для любого треугольника можно вычислить сумму квадратов тангенсов половин его углов. Докажите, что эта сумма

  а) меньше 2 для любого остроугольного треугольника;

  б) не меньше 2 для любого тупоугольного треугольника, величина тупого угла которого больше или равна  2 arctg ⁴/₃;  а среди треугольников с тупым углом, меньшим  2 arctg ⁴/₃,  имеются и такие, сумма квадратов тангенсов половин углов которых больше 2, и такие, сумма квадратов тангенсов половин углов которых меньше 2.

Известно, что разность между наибольшим и наименьшим из чисел <i>x</i>₁, <i>x</i>₂, <i>x</i>₃, ..., <i>x</i>₉, <i>x</i>₁₀ равна 1. Какой  а) наибольшей;  б) наименьшей может быть разность между наибольшим и наименьшим из 10 чисел <i>x</i>₁,  ½ (<i>x</i>₁ + <i>x</i>₂),  &frac13; (<i>x</i>₁ + <i>x</i>₂ + <i>x</i>₃),  ...,  ¹/₁₀ (<i>x</i><sub>1<...

Даны два треугольника <i>A</i>₁<i>A</i>₂<i>A</i>₃ и <i>B</i>₁<i>B</i>₂<i>B</i>₃. "Опишите" вокруг треугольника <i>A</i>₁<i>A</i>₂<i>A</i>₃ треугольник <i>M</i>₁<i>M</i>₂<i>M</i>₃ наибольшей площади, подобный треугольнику <i>B</i>₁<i>B</i>₂<i>B</i>₃ (вершина <i&g...

Дана бесконечная последовательность цифр. Докажите, что для любого натурального числа <i>n</i>, взаимно простого с числом 10, можно указать такую группу стоящих подряд цифр последовательности, что записываемое этими цифрами число делится на <i>n</i>.

24 студента решали 25 задач. У преподавателя есть таблица размером 24×25, в которой записано, кто какие задачи решил. Оказалось, что каждую задачу решил хотя бы один студент. Докажите, что

  а) можно отметить некоторые задачи "галочкой" так, что каждый из студентов решил чётное число (в частности, может быть, нуль) отмеченных задач;

  б) можно отметить некоторые из задач знаком "+", а некоторые из остальных – знаком "–" и приписать каждой задаче некоторое натуральное число баллов так, чтобы каждый студент набрал поровну баллов за задачи, отмеченные знаками "+" и "–".

Назовём натуральное число хорошим, если в его десятичной записи встречаются подряд цифры 1, 9,<nobr>7, 3,</nobr>и<nobr>плохим —</nobr>в противном случае. (Например, число<nobr>197 639 917 —</nobr>плохое, а<nobr>116 519 732 —</nobr>хорошее.) Докажите, что существует такое натуральное<nobr>число <i>n</i>,</nobr>что среди всех<i>n</i>-значных чисел<nobr>(от 10^{<i>n</i> – 1}</nobr>до<nobr>10^<i>n</i> – 1)</nobr>больше хороших, чем плохих.Постарайтесь найти возможно меньшее <nobr>такое <i>n</i>.</nobr>

Из последовательности  <i>a</i>,  <i>a + d,  a</i> + 2<i>d,  a</i> + 3<i>d</i>, ...,  являющейся бесконечной арифметической прогрессией, где <i>d</i> не равно 0, тогда и только тогда можно выбрать подпоследовательность, являющуюся бесконечной геометрической прогрессией, когда отношение ^<i>a</i>/_<i>d</i>  рационально. Докажите это.

а) На рисунке слева изображены шесть точек, которые лежат по три на четырёх прямых. Докажите, что можно 24 разными способами отобразить это множество из шести точек на себя так, чтобы каждые три точки, лежащие на одной прямой, отобразились в три точки, лежащие на одной прямой. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/73735/problem_73735_img_2.gif"></div>б) На рисунке справа девять точек лежат по три на девяти прямых, причём через каждую точку проходит по три таких прямых. Эти девять точек и девять прямых образуют знаменитую <i>конфигурацию Паскаля</i>. Сколькими способами можно множество наших девяти точек отобразить на себя так, чтобы каждая тройка точек, лежащая на одной из девяти наших прямых, отобразилась на тройку точек, ко...

а) Докажите, что   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/73734/problem_73734_img_2.gif">   (сумма берётся по всем целым <i>i</i>, 0 ≤ <i>i ≤ ⁿ</i>/₂). б) Докажите, что если <i>p</i> и <i>q</i> – различные числа и  <i>p + q</i> = 1,  то <div align="center"><img src="/storage/problem-media/73734/problem_73734_img_3.gif"></div>

Докажите, что для любого натурального числа <i>n</i>   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/73719/problem_73719_img_2.gif">

Докажите, что если

  а) <i>a, b</i> и <i>c</i> – положительные числа, то   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/73717/problem_73717_img_2.gif">   б) <i>a, b, c</i> и <i>d</i> – положительные числа,   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/73717/problem_73717_img_3.gif">   в) <i>a</i>₁, ..., <i>a_n</i> – положительные числа  (<i>n</i> > 1),  то   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/73717/problem_73717_img_4.gif">

Какую наименьшую длину должен иметь кусок проволоки, чтобы из него можно было согнуть каркас куба с ребром 10 см?

(Проволока может проходить по одному ребру дважды, загибаться <nobr>на 90° и 180°, но ломать её нельзя.)</nobr>