Олимпиадные задачи из источника «параграф 6. Неравенства для площадей» - сложность 2-4 с решениями

Квадрат разрезан на прямоугольники.

Доказать, что сумма площадей кругов, описанных около каждого прямоугольника, не меньше площади круга, описанного около квадрата.

Проекции многоугольника на ось<i>OX</i>, биссектрису 1-го и 3-го координатных углов, ось<i>OY</i>и биссектрису 2-го и 4-го координатных углов равны соответственно 4, 3$\sqrt{2}$, 5, 4$\sqrt{2}$. Площадь многоугольника —<i>S</i>. Докажите, что<i>S</i>$\le$17, 5.

а) Докажите, что в любом выпуклом шестиугольнике площади <i>S</i>найдется диагональ, отсекающая от него треугольник площади не больше <i>S</i>/6. б) Докажите, что в любом выпуклом восьмиугольнике площади <i>S</i>найдется диагональ, отсекающая от него треугольник площади не больше <i>S</i>/8.

Докажите, что сумма площадей пяти треугольников, образованных парами соседних сторон и соответствующими диагоналями выпуклого пятиугольника, больше площади всего пятиугольника.

Все стороны выпуклого многоугольника отодвигаются во внешнюю сторону на расстояние <i>h</i>. Докажите, что его площадь при этом увеличится больше чем на <i>Ph</i>+$\pi$<i>h</i>², где <i>P</i> — периметр.

а) Точки <i>B</i>,<i>C</i>и <i>D</i>делят (меньшую) дугу <i>AE</i>окружности на четыре равные части. Докажите, что <i>S</i>_ACE< 8<i>S</i>_BCD. б) Из точки <i>A</i>проведены касательные <i>AB</i>и <i>AC</i>к окружности. Через середину <i>D</i>(меньшей) дуги <i>BC</i>проведена касательная, пересекающая отрезки <i>AB</i>и <i>AC</i>в точках <i>M</i>и <i>N</i>. Докажите, что <i>S</i>_BCD< 2<i>S</i>_MAN.

Площади треугольников <i>ABC</i>и <i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁равны <i>S</i>и <i>S</i>₁, причем треугольник <i>ABC</i>не тупоугольный. Наибольшее из отношений <i>a</i>₁/<i>a</i>,<i>b</i>₁/<i>b</i>и <i>c</i>₁/<i>c</i>равно <i>k</i>. Докажите, что <i>S</i>₁$\leq$<i>k</i>²<i>S</i>.

Через точку, лежащую внутри треугольника, проведены три прямые, параллельные его сторонам. Обозначим площади частей, на которые эти прямые разбивают треугольник, так, как показано на рис. Докажите, что <i>a</i>/$\alpha$+<i>b</i>/$\beta$+<i>c</i>/$\gamma$$\geq$3/2.

<div align="center"><img src="/storage/problem-media/57344/problem_57344_img_6.gif" border="1"></div>

<i>ABCD</i> — выпуклый четырехугольник площади <i>S</i>. Угол между прямыми <i>AB</i>и <i>CD</i>равен <i>a</i>, угол между <i>AD</i>и <i>BC</i>равен $\beta$. Докажите, что<div align="CENTER"> <i>AB</i>^.<i>CD</i> sin$\displaystyle \alpha$ + <i>AD</i>^.<i>BC</i> sin$\displaystyle \beta$ $\displaystyle \leq$ 2<i>S</i> $\displaystyle \leq$ <i>AB</i>^.<i>CD</i> + <i>AD</i>^.<i>BC</i>. </div>

Площади треугольников<i>ABC</i>,<i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁,<i>A</i>₂<i>B</i>₂<i>C</i>₂равны <i>S</i>,<i>S</i>₁,<i>S</i>₂соответственно, причем <i>AB</i>=<i>A</i>₁<i>B</i>₁+<i>A</i>₂<i>B</i>₂,<i>AC</i>=<i>A</i>₁<i>C</i>₁+<i>A</i><sub>2</sub&...

Точки <i>M</i>и <i>N</i>лежат на сторонах <i>AB</i>и <i>AC</i>треугольника <i>ABC</i>, причем <i>AM</i>=<i>CN</i>и <i>AN</i>=<i>BM</i>. Докажите, что площадь четырехугольника <i>BMNC</i>по крайней мере в три раза больше площади треугольника <i>AMN</i>.