Олимпиадные задачи из источника «параграф 6. Неравенства для площадей» - сложность 3-4 с решениями
параграф 6. Неравенства для площадей
НазадПроекции многоугольника на ось<i>OX</i>, биссектрису 1-го и 3-го координатных углов, ось<i>OY</i>и биссектрису 2-го и 4-го координатных углов равны соответственно 4, 3$\sqrt{2}$, 5, 4$\sqrt{2}$. Площадь многоугольника —<i>S</i>. Докажите, что<i>S</i>$\le$17, 5.
а) Докажите, что в любом выпуклом шестиугольнике площади <i>S</i>найдется диагональ, отсекающая от него треугольник площади не больше <i>S</i>/6. б) Докажите, что в любом выпуклом восьмиугольнике площади <i>S</i>найдется диагональ, отсекающая от него треугольник площади не больше <i>S</i>/8.
Докажите, что сумма площадей пяти треугольников, образованных парами соседних сторон и соответствующими диагоналями выпуклого пятиугольника, больше площади всего пятиугольника.
Все стороны выпуклого многоугольника отодвигаются во внешнюю сторону на расстояние <i>h</i>. Докажите, что его площадь при этом увеличится больше чем на <i>Ph</i>+$\pi$<i>h</i><sup>2</sup>, где <i>P</i> — периметр.
а) Точки <i>B</i>,<i>C</i>и <i>D</i>делят (меньшую) дугу <i>AE</i>окружности на четыре равные части. Докажите, что <i>S</i><sub>ACE</sub>< 8<i>S</i><sub>BCD</sub>. б) Из точки <i>A</i>проведены касательные <i>AB</i>и <i>AC</i>к окружности. Через середину <i>D</i>(меньшей) дуги <i>BC</i>проведена касательная, пересекающая отрезки <i>AB</i>и <i>AC</i>в точках <i>M</i>и <i>N</i>. Докажите, что <i>S</i><sub>BCD</sub>< 2<i>S</i><sub>MAN</sub>.