Олимпиадные задачи из источника «глава 6. Многоугольники» для 8 класса - сложность 4 с решениями
глава 6. Многоугольники
НазадПравильный пятиугольник <i>ABCDE</i>со стороной <i>a</i>вписан в окружность <i>S</i>. Прямые, проходящие через его вершины перпендикулярно сторонам, образуют правильный пятиугольник со стороной <i>b</i>(см. рис.). Сторона правильного пятиугольника, описанного около окружности <i>S</i>, равна <i>c</i>. Докажите, что <i>a</i><sup>2</sup>+<i>b</i><sup>2</sup>=<i>c</i><sup>2</sup>.
<div align="center"><img src="/storage/problem-media/57059/problem_57059_img_2.gif" border="1"></div>
В равностороннем (неправильном) пятиугольнике <i>ABCDE</i>угол <i>ABC</i>вдвое больше угла <i>DBE</i>. Найдите величину угла <i>ABC</i>.
На дуге <i>CD</i>описанной окружности квадрата <i>ABCD</i>взята точка <i>P</i>. Докажите, что <i>PA</i>+<i>PC</i>=$\sqrt{2}$<i>PB</i>.
Биссектриса угла <i>A</i>треугольника <i>ABC</i>пересекает описанную окружность в точке <i>D</i>. Докажите, что <i>AB</i>+<i>AC</i>$\leq$2<i>AD</i>.
Расстояния от центра описанной окружности остроугольного треугольника до его сторон равны <i>d</i><sub>a</sub>,<i>d</i><sub>b</sub>и <i>d</i><sub>c</sub>. Докажите, что <i>d</i><sub>a</sub>+<i>d</i><sub>b</sub>+<i>d</i><sub>c</sub>=<i>R</i>+<i>r</i>.
Из вершин выпуклого четырехугольника опущены перпендикуляры на диагонали. Докажите, что четырехугольник, образованный основаниями перпендикуляров, подобен исходному четырехугольнику.
Докажите, что если диагонали четырехугольника перпендикулярны, то проекции точки пересечения диагоналей на стороны являются вершинами вписанного четырехугольника.
Докажите, что проекции точки пересечения диагоналей вписанного четырехугольника на его стороны являются вершинами описанного четырехугольника, если только они не попадают на продолжения сторон.
Диагональ <i>AC</i>разбивает четырехугольник <i>ABCD</i>на два треугольника, вписанные окружности которых касаются диагонали <i>AC</i>в одной точке. Докажите, что вписанные окружности треугольников <i>ABD</i>и <i>BCD</i>тоже касаются диагонали <i>BD</i>в одной точке, а точки их касания со сторонами четырехугольника лежат на одной окружности.
Четырехугольник <i>ABCD</i>вписанный; <i>H</i><sub>c</sub>и <i>H</i><sub>d</sub> — ортоцентры треугольников <i>ABD</i>и <i>ABC</i>. Докажите, что <i>CDH</i><sub>c</sub><i>H</i><sub>d</sub> — параллелограмм.
Через точки пересечения продолжений сторон выпуклого четырехугольника <i>ABCD</i>проведены две прямые, делящие его на четыре четырехугольника. Докажите, что если четырехугольники, примыкающие к вершинам <i>B</i>и <i>D</i>, описанные, то четырехугольник <i>ABCD</i>тоже описанный.
Дан выпуклый четырехугольник <i>ABCD</i>. Лучи <i>AB</i>и <i>CD</i>пересекаются в точке <i>P</i>, а лучи <i>BC</i>и <i>AD</i> — в точке <i>Q</i>. Докажите, что четырехугольник <i>ABCD</i>описанный тогда и только тогда, когда выполняется одно из следующих условий: <i>AB</i>+<i>CD</i>=<i>BC</i>+<i>AD</i>,<i>AP</i>+<i>CQ</i>=<i>AQ</i>+<i>CP</i>или <i>BP</i>+<i>BQ</i>=<i>DP</i>+<i>DQ</i>.
Четырёхугольник <i>ABCD</i> вписан в окружность; <i>O</i><sub>1</sub>, <i>O</i><sub>2</sub>, <i>O</i><sub>3</sub>, <i>O</i><sub>4</sub> — центры окружностей, вписанных в треугольники <i>ABC</i>, <i>BCD</i>, <i>CDA</i> и <i>DAB</i>. Докажите, что <!-- MATH $O_{1}O_{2}O_{3}O_{4}$ --> <i>O</i><sub>1</sub><i>O</i><sub>2</sub><i>O</i><sub>3</sub><i>O</i><sub>4</sub> -- прямоугольник.