Олимпиадные задачи из источника «параграф 7. Теорема Менелая» для 6-10 класса - сложность 2-5 с решениями

Диагонали<i>AD</i>,<i>BE</i>и<i>CF</i>шестиугольника<i>ABCDEF</i>пересекаются в одной точке. Пусть<i>A'</i> — точка пересечения прямых<i>AC</i>и<i>FB</i>,<i>B'</i> — точка пересечения<i>BD</i>и<i>AC</i>,<i>C'</i> — точка пересечения<i>CE</i>и<i>BD</i>. Докажите, что точки пересечения прямых<i>A'B'</i>и<i>D'E'</i>,<i>B'C'</i>и<i>E'F'</i>,<i>C'D'</i>и<i>F'A'</i>лежат на одной прямой.

На прямых <i>BC</i>,<i>CA</i>и <i>AB</i>взяты точки <i>A</i>₁,<i>B</i>₁и <i>C</i>₁. Пусть<i>P</i>₁ — произвольная точка прямой <i>BC</i>,<i>P</i>₂ — точка пересечения прямых<i>P</i>₁<i>B</i>₁и<i>AB</i>,<i>P</i>₃ — точка пересечения прямых<i>P</i>₂<i>A</i>₁и<i>CA</i>,<i>P</i>₄ — точка пересечения<i>P</i>₃&lt...

а) Через точки <i>P</i>и <i>Q</i>проведены тройки прямых. Обозначим их точки пересечения так, как показано на рис. Докажите, что прямые <i>KL</i>,<i>AC</i>и <i>MN</i>пересекаются в одной точке (или параллельны). б) Докажите, далее, что если точка <i>O</i>лежит на прямой <i>BD</i>, то точка пересечения прямых <i>KL</i>,<i>AC</i>и <i>MN</i>лежит на прямой <i>PQ</i>.

<div align="center"><img src="/storage/problem-media/56911/problem_56911_img_2.gif" border="1"></div>

Продолжения сторон <i>AB</i>и <i>CD</i>четырехугольника <i>ABCD</i>пересекаются в точке <i>P</i>, а продолжения сторон <i>BC</i>и <i>AD</i> — в точке <i>Q</i>. Через точку <i>P</i>проведена прямая, пересекающая стороны <i>BC</i>и <i>AD</i>в точках <i>E</i>и <i>F</i>. Докажите, что точки пересечения диагоналей четырехугольников <i>ABCD</i>,<i>ABEF</i>и <i>CDFE</i>лежат на прямой, проходящей через точку <i>Q</i>.

На сторонах <i>AB</i>,<i>BC</i>и <i>CD</i>четырехугольника <i>ABCD</i>(или на их продолжениях) взяты точки <i>K</i>,<i>L</i>и <i>M</i>. Прямые <i>KL</i>и <i>AC</i>пересекаются в точке <i>P</i>, <i>LM</i>и <i>BD</i> — в точке <i>Q</i>. Докажите, что точка пересечения прямых <i>KQ</i>и <i>MP</i>лежит на прямой <i>AD</i>.

На одной прямой взяты точки <i>A</i>₁,<i>B</i>₁и <i>C</i>₁, а на другой — точки <i>A</i>₂,<i>B</i>₂и <i>C</i>₂. Прямые <i>A</i>₁<i>B</i>₂и <i>A</i>₂<i>B</i>₁, <i>B</i>₁<i>C</i>₂и <i>B</i>₂<i>C</i>₁, <i>C</i>₁<i>A</i>₂и <i>C</i>&...

Прямые <i>AA</i>₁,<i>BB</i>₁,<i>CC</i>₁пересекаются в одной точке <i>O</i>. Докажите, что точки пересечения прямых <i>AB</i>и <i>A</i>₁<i>B</i>₁, <i>BC</i>и <i>B</i>₁<i>C</i>₁, <i>AC</i>и <i>A</i>₁<i>C</i>₁лежат на одной прямой (Дезарг).

На сторонах<i>BC</i>,<i>CA</i>и<i>AB</i>треугольника<i>ABC</i>(или на их продолжениях) взяты точки<i>A</i>₁,<i>B</i>₁и<i>C</i>₁, лежащие на одной прямой. Докажите, что<div align="CENTER"> $\displaystyle {\frac{AB}{BC_1}}$^.$\displaystyle {\frac{C_1A_1}{B_1A_1}}$^.$\displaystyle {\frac{A_1B}{BC}}$^.$\displaystyle {\frac{CB_1}{B_1A}}$ = 1. </div>

На прямых <i>BC</i>,<i>CA</i>и <i>AB</i>взяты точки <i>A</i>₁,<i>B</i>₁и <i>C</i>₁, причем точки <i>A</i>₁,<i>B</i>₁и <i>C</i>₁лежат на одной прямой. Прямые, симметричные прямым <i>AA</i>₁,<i>BB</i>₁и <i>CC</i>₁относительно соответствующих биссектрис треугольника <i>ABC</i>, пересекают прямые <i>BC</i>,<i>CA</i>и <i>AB</i>в точках <i>A</i>₂,<i>B</i>&lt...

Из вершины <i>C</i>прямого угла треугольника <i>ABC</i>опущена высота <i>CK</i>, и в треугольнике <i>ACK</i>проведена биссектриса <i>CE</i>. Прямая, проходящая через точку <i>B</i>параллельно <i>CE</i>, пересекает <i>CK</i>в точке <i>F</i>. Докажите, что прямая <i>EF</i>делит отрезок <i>AC</i>пополам.

а) Серединный перпендикуляр к биссектрисе <i>AD</i>треугольника <i>ABC</i>пересекает прямую <i>BC</i>в точке <i>E</i>. Докажите, что <i>BE</i>:<i>CE</i>=<i>c</i>²:<i>b</i>². б) Докажите, что точки пересечения серединных перпендикуляров к биссектрисам треугольников и продолжений соответствующих сторон лежат на одной прямой.

Окружность <i>S</i> касается окружностей <i>S</i>₁ и <i>S</i>₂ в точках <i>A</i>₁ и <i>A</i>₂.

Докажите, что прямая <i>A</i>₁<i>A</i>₂ проходит через точку пересечения общих внешних или общих внутренних касательных к окружностям <i>S</i>₁ и <i>S</i>₂.

Решите задачу <a href="https://mirolimp.ru/tasks/156934">5.85</a>, а) с помощью теоремы Менелая.

Касательные к описанной окружности неравнобедренного треугольника<i>ABC</i>в точках<i>A</i>,<i>B</i>и<i>C</i>пересекают продолжения сторон в точках<i>A</i>₁,<i>B</i>₁и<i>C</i>₁. Докажите, что точки<i>A</i>₁,<i>B</i>₁и<i>C</i>₁лежат на одной прямой.=-1

а) В треугольнике<i>ABC</i>проведены биссектрисы внешних углов<i>AA</i>₁,<i>BB</i>₁и<i>CC</i>₁(точки<i>A</i>₁,<i>B</i>₁и<i>C</i>₁лежат на прямых<i>BC</i>,<i>CA</i>и<i>AB</i>). Докажите, что точки<i>A</i>₁,<i>B</i>₁и<i>C</i>₁лежат на одной прямой. б) В треугольнике<i>ABC</i>проведены биссектрисы<i>AA</i>₁и<i>BB</i>₁и биссектриса внешнего угла<i>CC&...

На сторонах <i>BC</i>,<i>CA</i>и <i>AB</i>треугольника <i>ABC</i>(или на их продолжениях) взяты точки <i>A</i>₁,<i>B</i>₁и <i>C</i>₁соответственно. Докажите, что точки <i>A</i>₁,<i>B</i>₁и <i>C</i>₁лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда<div align="CENTER"> $\displaystyle {\frac{\overline{BA_1}}{\overline{CA_1}}}$^.$\displaystyle {\frac{\overline{CB_1}}{\overline{AB_1}}}$^.$\displaystyle {\frac{\overline{AC_1}}{\overline{BC_1}}}$ = 1        (<i>теорема Менел...