Задача
На одной прямой взяты точки A1,B1и C1, а на другой — точки A2,B2и C2. Прямые A1B2и A2B1, B1C2и B2C1, C1A2и C2A1пересекаются в точках C,Aи Bсоответственно. Докажите, что точки A,Bи Cлежат на одной прямой (Папп).
Решение
Рассмотрим треугольник A0B0C0, образованный прямыми A1B2,B1C2и C1A2(A0 — точка пересечения прямых A1B2и A2C1и т. д.), и применим для него теорему Менелая к следующим пяти тройкам точек:(A,B2,C1),(B,C2,A1),(C,A2,B1),(A1,B1,C1) и (A2,B2,C2). В результате получим
| $\displaystyle {\frac{\overline{B_0A}}{\overline{C_0A}}}$ . $\displaystyle {\frac{\overline{A_0B_2}}{\overline{B_0B_2}}}$ . $\displaystyle {\frac{\overline{C_0C_1}}{\overline{A_0C_1}}}$ = 1, $\displaystyle {\frac{\overline{C_0B}}{\overline{A_0B}}}$ . $\displaystyle {\frac{\overline{B_0C_2}}{\overline{C_0C_2}}}$ . $\displaystyle {\frac{\overline{A_0A_1}}{\overline{B_0A_1}}}$ = 1, | |
| $\displaystyle {\frac{\overline{A_0C}}{\overline{B_0C}}}$ . $\displaystyle {\frac{\overline{C_0A_2}}{\overline{A_0A_2}}}$ . $\displaystyle {\frac{\overline{B_0B_1}}{\overline{C_0B_1}}}$ = 1, $\displaystyle {\frac{\overline{B_0A_1}}{\overline{A_0A_1}}}$ . $\displaystyle {\frac{\overline{C_0B_1}}{\overline{B_0B_1}}}$ . $\displaystyle {\frac{\overline{A_0C_1}}{\overline{C_0C_1}}}$ = 1, | |
| $\displaystyle {\frac{\overline{A_0A_2}}{\overline{C_0A_2}}}$ . $\displaystyle {\frac{\overline{B_0B_2}}{\overline{A_0B_2}}}$ . $\displaystyle {\frac{\overline{C_0C_2}}{\overline{B_0C_2}}}$ = 1. |
Перемножая эти равенства, получаем${\frac{\overline{B_0A}}{\overline{C_0A}}}$ . ${\frac{\overline{C_0B}}{\overline{A_0B}}}$ . ${\frac{\overline{A_0C}}{\overline{B_0C}}}$=1, а значит, точки A,Bи Cлежат на одной прямой.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет