Задача
На сторонахBC,CAиABтреугольникаABC(или на их продолжениях) взяты точкиA1,B1иC1, лежащие на одной прямой. Докажите, что
$\displaystyle {\frac{AB}{BC_1}}$ . $\displaystyle {\frac{C_1A_1}{B_1A_1}}$ . $\displaystyle {\frac{A_1B}{BC}}$ . $\displaystyle {\frac{CB_1}{B_1A}}$ = 1.
Решение
Применим теорему Менелая к треугольникамAC1B1,C1A1B1,A1CB1иCAB:
| $\displaystyle {\frac{AB}{BC_1}}$ . $\displaystyle {\frac{C_1A_1}{A_1B_1}}$ . $\displaystyle {\frac{B_1C}{CA}}$ = 1, $\displaystyle {\frac{C_1B_1}{B_1A_1}}$ . $\displaystyle {\frac{A_1C}{CB}}$ . $\displaystyle {\frac{BA}{AC_1}}$ = 1, | |
| $\displaystyle {\frac{A_1B}{BC}}$ . $\displaystyle {\frac{CA}{AB_1}}$ . $\displaystyle {\frac{B_1C_1}{C_1A_1}}$ = 1, $\displaystyle {\frac{CB_1}{B_1A}}$ . $\displaystyle {\frac{AC_1}{C_1B}}$ . $\displaystyle {\frac{BA_1}{A_1C}}$ = 1. |
Перемножив эти равенства, получим
$\displaystyle \left(\vphantom{\frac{AB}{BC_1}\cdot\frac{C_1A_1}{B_1A_1}\cdot\frac{A_1B}{BC}
\cdot\frac{CB_1}{B_1A}}\right.$$\displaystyle {\frac{AB}{BC_1}}$ . $\displaystyle {\frac{C_1A_1}{B_1A_1}}$ . $\displaystyle {\frac{A_1B}{BC}}$ . $\displaystyle {\frac{CB_1}{B_1A}}$$\displaystyle \left.\vphantom{\frac{AB}{BC_1}\cdot\frac{C_1A_1}{B_1A_1}\cdot\frac{A_1B}{BC}
\cdot\frac{CB_1}{B_1A}}\right)^{2}_{}$ = 1.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет