Задача
а) Серединный перпендикуляр к биссектрисе ADтреугольника ABCпересекает прямую BCв точке E. Докажите, что BE:CE=c2:b2. б) Докажите, что точки пересечения серединных перпендикуляров к биссектрисам треугольников и продолжений соответствующих сторон лежат на одной прямой.
Решение
а) Пусть для определенности $\angle$B<$\angle$C. Тогда $\angle$DAE=$\angle$ADE=$\angle$B+$\angle$A/2, а значит,$\angle$CAE=$\angle$B. Так как
$\displaystyle {\frac{BE}{AB}}$ = $\displaystyle {\frac{\sin BAE}{\sin AEB}}$ и $\displaystyle {\frac{AC}{CE}}$ = $\displaystyle {\frac{\sin AEC}{\sin CAE}}$,
то
$\displaystyle {\frac{BE}{CE}}$ = $\displaystyle {\frac{c\sin BAE}{b\sin CAE}}$ = $\displaystyle {\frac{c\sin(A+B)}{b\sin B}}$ = $\displaystyle {\frac{c\sin C}{b\sin B}}$ = $\displaystyle {\frac{c^2}{b^2}}$.
б) В задаче а) точка Eлежит на продолжении стороны BC,
так как $\angle$ADC=$\angle$BAD+$\angle$B>$\angle$CAD. Поэтому, используя
результат задачи а) и теорему Менелая, получаем требуемое.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет