Олимпиадные задачи из источника «глава 20. Принцип крайнего» для 2-8 класса - сложность 2-3 с решениями
На плоскости дано конечное множество многоугольников, каждые два из которых имеют общую точку. Докажите, что существует прямая, которая имеет общую точку с каждым из этих многоугольников.
На плоскости дано бесконечное множество прямоугольников, вершины каждого из которых расположены в точках с координатами (0, 0), (0,<i>m</i>), (<i>n</i>, 0), (<i>n</i>,<i>m</i>), где <i>n</i>и <i>m</i> — целые положительные числа (свои для каждого прямоугольника). Докажите, что из этих прямоугольников можно выбрать два так, чтобы один содержался в другом.
На плоскости даны четыре точки, не лежащие на одной прямой. Докажите, что хотя бы один из треугольников с вершинами в этих точках не является остроугольным.
Можно ли на плоскости расположить 1000 отрезков так, чтобы каждый отрезок обоими концами упирался строго внутрь других отрезков?
Решите задачу <a href="https://mirolimp.ru/tasks/158053">20.8</a>, воспользовавшись понятием выпуклой оболочки.
Многоугольник <i>M'</i>гомотетичен многоугольнику <i>M</i>с коэффициентом гомотетии -1/2. Докажите, что существует параллельный перенос, переводящий многоугольник <i>M'</i>внутрь многоугольника <i>M</i>.
На плоскости расположено <i>n</i>точек, причем площадь любого треугольника с вершинами в этих точках не превосходит 1. Докажите, что все эти точки можно поместить в треугольник площади 4.
Докажите, что в любом выпуклом пятиугольнике найдутся три диагонали, из которых можно составить треугольник.
Из каждой вершины многоугольника опущены перпендикуляры на стороны, её не содержащие. Докажите, что хотя бы для одной вершины одно из оснований перпендикуляров лежит на самой стороне, а не на её продолжении.
Докажите, что по крайней мере одно из оснований перпендикуляров, опущенных из внутренней точки выпуклого многоугольника на его стороны, лежит на самой стороне, а не на ее продолжении.
На плоскости расположено несколько точек, все попарные расстояния между которыми различны. Каждую из этих точек соединяют с ближайшей. Может ли при этом получиться замкнутая ломаная?
На плоскости дано<i>n</i>$\ge$3 точек, причем не все они лежат на одной прямой. Докажите, что существует окружность, проходящая через три из данных точек и не содержащая внутри ни одной из оставшихся точек.
Шесть кругов расположены на плоскости так, что некоторая точка <i>O</i>лежит внутри каждого из них. Докажите, что один из этих кругов содержит центр некоторого другого.
Внутри круга радиуса 1 лежат восемь точек. Докажите, что расстояние между некоторыми двумя из них меньше 1.
В некоторой стране 100 аэродромов, причём все попарные расстояния между ними различны. С каждого аэродрома поднимается самолет и летит на ближайший к нему аэродром.
Докажите, что ни на один аэродром не может прилететь больше пяти самолетов.
Докажите, что если длины всех сторон треугольника меньше 1, то его площадь меньше$\sqrt{3}$/4.
На сторонах выпуклого четырёхугольника как на диаметрах построены четыре круга. Докажите, что они покрывают весь четырёхугольник.