Олимпиадные задачи из источника «глава 17. Осевая симметрия» для 2-9 класса - сложность 1-2 с решениями

Сколько осей симметрии может иметь семиугольник?

На окружности с центром <i>O</i>даны точки<i>A</i>₁,...,<i>A</i>_n, делящие ее на равные дуги, и точка <i>X</i>. Докажите, что точки, симметричные <i>X</i>относительно прямых<i>OA</i>₁,...,<i>OA</i>_n, образуют правильный многоугольник.

Точка <i>A</i>расположена на расстоянии 50 см от центра круга радиусом 1 см. Разрешается отразить точку симметрично относительно любой прямой, пересекающей круг. Докажите, что: а) за 25 отражений точку <i>A</i>можно к загнатьк внутрь данного круга; б) за 24 отражения этого сделать нельзя.

а) Прямые <i>l</i>₁и <i>l</i>₂параллельны. Докажите, что<i>S</i>_l₁<tt>o</tt><i>S</i>_l₂=<i>T</i>_2<b>a</b>, где <i>T</i>_<b>a</b> — параллельный перенос, переводящий <i>l</i>₁в <i>l</i>₂, причем<b>a</b>$\perp$<i>l</i>₁. б) Прямые <i>l</i>₁и <i>l</i>₂пересекаются в точке <i>O</i>. Докажите, что<i>S</i&g...

Вписанная окружность треугольника<i>ABC</i>касается сторон<i>AC</i>и <i>BC</i>в точках <i>B</i>₁и <i>A</i>₁. Докажите, что если<i>AC</i>><i>BC</i>, то<i>AA</i>₁><i>BB</i>₁.

В треугольнике<i>ABC</i>проведена медиана<i>AM</i>. Докажите, что2<i>AM</i>$\ge$(<i>b</i>+<i>c</i>)cos($\alpha$/2).

На биссектрисе внешнего угла <i>C</i>треугольника<i>ABC</i>взята точка <i>M</i>, отличная от <i>C</i>. Докажите, что<i>MA</i>+<i>MB</i>><i>CA</i>+<i>CB</i>.

Даны три прямые <i>l</i>₁,<i>l</i>₂и <i>l</i>₃, пересекающиеся в одной точке, и точка <i>A</i>на прямой <i>l</i>₁. Постройте треугольник<i>ABC</i>так, чтобы точка <i>A</i>была его вершиной, а биссектрисы треугольника лежали на прямых <i>l</i>₁,<i>l</i>₂и <i>l</i>₃.

Постройте треугольник<i>ABC</i>, если даны точки <i>A</i>,<i>B</i>и прямая, на которой лежит биссектриса угла <i>C</i>.

Даны три прямые <i>l</i>₁,<i>l</i>₂и <i>l</i>₃, пересекающиеся в одной точке, и точка <i>A</i>₁на прямой <i>l</i>₁. Постройте треугольник<i>ABC</i>так, чтобы точка <i>A</i>₁была серединой его стороны<i>BC</i>, а прямые <i>l</i>₁,<i>l</i>₂и <i>l</i>₃были серединными перпендикулярами к сторонам.

Дана прямая <i>l</i>и точки <i>A</i>и <i>B</i>, лежащие по одну сторону от нее. Постройте такую точку <i>X</i>прямой <i>l</i>, что<i>AX</i>+<i>XB</i>=<i>a</i>, где <i>a</i> — данная величина.

Постройте треугольник<i>ABC</i>по: а) <i>c</i>,<i>a</i>-<i>b</i>(<i>a</i>><i>b</i>) и углу <i>C</i>; б) <i>c</i>,<i>a</i>+<i>b</i>и углу <i>C</i>.

Постройте треугольник<i>ABC</i>по стороне <i>c</i>, высоте <i>h</i>_cи разности углов <i>A</i>и <i>B</i>.

Постройте треугольник<i>ABC</i>по <i>a</i>,<i>b</i>и разности углов <i>A</i>и <i>B</i>.

Постройте четырехугольник<i>ABCD</i>, в который можно вписать окружность, зная длины двух соседних сторон<i>AB</i>и <i>AD</i>и углы при вершинах <i>B</i>и <i>D</i>.

Постройте четырехугольник<i>ABCD</i>, у которого диагональ<i>AC</i>является биссектрисой угла <i>A</i>, зная длины его сторон.

Докажите, что если фигура имеет две перпендикулярные оси симметрии, то она имеет центр симметрии.

Ось симметрии многоугольника пересекает его стороны в точках <i>A</i>и <i>B</i>. Докажите, что точка <i>A</i>является либо вершиной многоугольника, либо серединой стороны, перпендикулярной оси симметрии.

Четырехугольник имеет ось симметрии. Докажите, что этот четырехугольник либо является равнобедренной трапецией, либо симметричен относительно диагонали.

Докажите, что окружность при осевой симметрии переходит в окружность.

Точка <i>M</i> лежит на диаметре <i>AB</i> окружности. Хорда <i>CD</i> окружности проходит через точку <i>M</i> и пересекает прямую <i>AB</i> под углом в 45°.

Докажите, что величина  <i>CM</i>² + <i>DM</i>²  не зависит от выбора точки <i>M</i>.