Олимпиадные задачи из источника «Генкин С.А., Итенберг И.В., Фомин Д.В., Ленинградские математические кружки» - сложность 1 с решениями

Найдите наименьшее натуральное значение <i>n</i>, при котором число <i>n</i>! делится на 990.

Мальчик Стёпа говорит: позавчера мне было 10 лет, а в следующем году мне исполнится 13. Может ли такое быть?

Сколькими способами можно расставить чёрную и белую ладьи на шахматной доске так, чтобы они не били друг друга?

Как при помощи чашечных весов без гирь разделить 24 кг гвоздей на две части  — 9 и 15 кг?

Отличник Поликарп купил общую тетрадь объёмом 96 листов и пронумеровал все её страницы по порядку числами от 1 до 192. Двоечник Колька вырвал из этой тетради 25 листов и сложил все 50 чисел, которые на них написаны. В ответе у Кольки получилось 2002. Не ошибся ли он?

Из шахматной доски вырезали две клетки – a1 и h8. Можно ли оставшуюся часть доски покрыть 31 косточкой домино так, чтобы каждая косточка покрывала ровно две клетки доски?

Докажите, что   ½ – &frac13; + ¼ – &frac15; + ... + ¹/₉₈ – ¹/₉₉ + ¹/₁₀₀ > &frac15;.

<i>a, b, c</i> – такие три числа, что  <i>a + b + c</i> = 0.  Доказать, что в этом случае справедливо соотношение  <i>ab + ac + bc</i> ≤ 0.

Докажите, что если число  <i>n</i>! + 1  делится на  <i>n</i> + 1,  то  <i>n</i> + 1  – простое число.

Сколько диагоналей имеет выпуклый:

а) 10-угольник;   б) <i>k</i>-угольник  (<i>k</i> > 3)?

Назовём натуральное число "симпатичным", если в его записи встречаются только нечётные цифры.

Сколько существует четырёхзначных "симпатичных" чисел?

Сколько существует шестизначных чисел, в записи которых есть хотя бы одна чётная цифра?

Алфавит племени Мумбо-Юмбо состоит из трёх букв. Словом является любая последовательность, состоящая не более чем из четырёх букв.

Сколько слов в языке племени Мумбо-Юмбо?

  а) В Стране Чудес есть три города <i>A</i>, <i>B</i> и <i>C</i>. Из города <i>A</i> в город <i>B</i> ведет 6 дорог, а из города <i>B</i> в город <i>C</i> – 4 дороги.

Сколькими cпособами можно проехать от <i>A</i> до <i>C</i>?

  б) В Стране Чудес построили еще один город <i>D</i> и несколько новых дорог – две из <i>A</i> в <i>D</i> и две из <i>D</i> в <i>C</i>.

Сколькими способами можно теперь добраться из города <i>A</i> в город <i>C</i>?

В народной дружине 100 человек. Каждый вечер на дежурство выходят трое.

Можно ли организовать дежурство так, чтобы через некоторое время оказалось, что каждый дежурил с каждым ровно один раз?

Можно ли так расставить знаки "+" или "–" между каждыми двумя соседними цифрами числа 123456789, чтобы полученное выражение равнялось нулю?

Поместится ли все население Земли, все здания и сооружения на ней в куб с длиной ребра 3 километра?

<i>n</i> – натуральное число. Докажите, что  2^<i>n</i> ≥ 2<i>n</i>.

Докажите, что при  <i>x</i> ≥ 0  имеет место неравенство   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/30879/problem_30879_img_2.gif">

Докажите, что при  <i>a, b, c</i> > 0  имеет место неравенство   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/30876/problem_30876_img_2.gif">

Докажите, что  <i>x</i>² + <i>y</i>² + <i>z</i>² ≥ <i>xy + yz + zx</i>&nbsp при любых <i>x, y, z</i>.

Докажите, что   <img align="middle" src="/storage/problem-media/30864/problem_30864_img_2.gif">   при <i>x, y</i> > 0.

Докажите, что  2(<i>x</i>² + <i>y</i>²) ≥ (<i>x + y</i>)²  при любых <i>x</i> и <i>y</i>.

Докажите, что  ½ (<i>x</i>² + <i>y</i>²) ≥ <i>xy</i>  при любых <i>x</i> и <i>y</i>.

Докажите, что  <i>x</i> + ¹/_<i>x</i> ≥ 2  при  <i>x</i> > 0.