Олимпиадные задачи из источника «Генкин С.А., Итенберг И.В., Фомин Д.В., Ленинградские математические кружки» для 9-11 класса - сложность 2 с решениями

На прямой сидят три кузнечика, каждую секунду прыгает один кузнечик. Он прыгает через какого-нибудь кузнечика (но не через двух сразу).

Докажите, что через 1985 секунд они не могут вернуться в исходное положение.

Доказать, что никакая степень числа 2 не оканчивается четырьмя одинаковыми цифрами.

Доказать, что существует бесконечно много чисел, не представимых в виде суммы трёх кубов.

В плоскости расположено 11 шестерёнок таким образом, что первая сцеплена со второй, вторая – с третьей, ..., одиннадцатая – с первой.

Могут ли они вращаться?

Докажите, что выпуклый 13-угольник нельзя разрезать на параллелограммы.

Найти остаток от деления на 7 числа  10¹⁰ + 10^10² + 10^10³ + ... + 10^10¹⁰.

Докажите, что если   <i>a</i>₁ ≥ <i>a</i>₂ ≥ ... ≥ <i>a_n</i>,   <i>b</i>₁ ≥ <i>b</i>₂ ≥ ... ≥ <i>b_n</i>,   то наибольшая из сумм вида   <i>a</i>₁<i>b</i>_<i>k</i>₁ + <i>a</i>₂<i>b</i>_<i>k</i>₂ + ... + <i>a_nb_{k_n}</i>     (<i>k</i>₁, <i>k</i><sub>2&lt...

Докажите неравенство   (<i>a + b + c + d</i> + 1)² ≥ 4(<i>a</i>² + <i>b</i>² + <i>c</i>² + <i>d</i>²)  при  <i>a, b, c, d</i> ∈ [0, 1].

Пусть <i>n</i> – натуральное число, не кратное 17. Докажите, что либо  <i>n</i>⁸ + 1,  либо  <i>n</i>⁸ – 1  делится на 17.

Докажите тождества:   а)  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/60413/problem_60413_img_2.gif">   б)  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/60413/problem_60413_img_3.gif">   в)  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/60413/problem_60413_img_4.gif">   г)  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/60413/problem_60413_img_5.gif">   д)  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/60413/problem_60413_img_6.gif">(Попробуйте доказать эти тождества тремя разными способами: пользуясь тем, что   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/60413/problem_60413_img_7.gif">   – это количест...

  а) Каких чисел больше среди целых чисел первой тысячи (включая и 1000): в записи которых есть единица, или остальных?   б) Каких семизначных чисел больше: тех, в записи которых есть единица, или остальных?

<i>x</i> ≥ –1, <i>n</i> – натуральное число. Докажите, что   (1 + <i>x</i>)^<i>n</i> ≥ 1 + <i>nx</i>.

<i>n</i> – натуральное число. Докажите, что   <img align="MIDDLE" src="/storage/problem-media/30898/problem_30898_img_2.gif">

<i>n</i> – натуральное число. Докажите, что   <img width="318" height="52" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/30897/problem_30897_img_2.gif">

<i>a, b, c</i> ≥ 0.  Докажите, что  2(<i>a</i>³ + <i>b</i>³ + <i>c</i>³) ≥ <i>a</i>²<i>b + ab</i>² + <i>a</i>²<i>c + ac</i>² + <i>b</i>²<i>c + bc</i>².

<i>x, y</i> > 0.  Докажите, что   <img align="absMIDDLE" src="/storage/problem-media/30888/problem_30888_img_2.gif">

Докажите, что   <img align="MIDDLE" src="/storage/problem-media/30887/problem_30887_img_2.gif">   при любых <i>x</i> и <i>y</i>.

<i>k, l, m</i> – натуральные числа. Докажите, что  2^<i>k+l</i> + 2^<i>k+m</i> + 2^<i>l+m</i> ≤ 2^{<i>k+l+m</i>+1} + 1.

Докажите неравенство   ¼ <i>a</i>² + <i>b</i>² + <i>c</i>² ≥ <i>ab – ac</i> + 2<i>bc</i>  при любых <i>a, b, c</i>.

<i>a + b</i> = 1.  Каково максимальное значение величины <i>ab</i>?

Докажите, что при  <i>x</i> ≥ 0  имеет место неравенство   3<i>x</i>³ – 6<i>x</i>² + 4 ≥ 0.

<i>a, b, c</i> – положительные числа. Докажите, что   <img width="113" height="53" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/30872/problem_30872_img_2.gif">

<i>a, b, c, d</i> – положительные числа. Докажите, что   <img width="286" height="56" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/30871/problem_30871_img_2.gif">

Докажите, что  <i>x</i>⁴ + <i>y</i>⁴ + 8 ≥ 8<i>xy</i>  при любых <i>x</i> и <i>y</i>.

Докажите, что при любых <i>a, b, c</i> имеет место неравенство  <i>a</i>⁴ + <i>b</i>⁴ + <i>c</i>⁴ ≥ <i>abc</i>(<i>a + b + c</i>).