Задача
Многочлен P(x) при всех действительных x принимает только положительные значения.
Докажите, что найдутся такие многочлены a(x) и b(x), для которых P(x) = a²(x) + b²(x).
Решение
Многочлен P(x) не имеет действительных корней, поэтому все его корни разбиваются на пары комплексно сопряженных чисел z1, z1, ..., zn, zn (см.задачу 161113). Пусть 
(x – zk) = a(x) + ib(x). Тогда (x – 
) = a(x) – ib(x). Отсюда P(x) = a²(x) + b²(x).
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет