а) Любой многочлен вида  x^3k – 1  делится на  x³ – 1,  а значит, и на  x² + x + 1.  Поэтому при  n = 3k + 1

x²ⁿ + xⁿ + 1 = (x²ⁿ – x²) + (xⁿ – x) + x² + x + 1  делится на  x² + x + 1.

  Аналогично при  n = 3k + 2   x²ⁿ + xⁿ + 1 = (x²ⁿ – x) + (xⁿ – x²) + x² + x + 1  делится на  x² + x + 1.

  А при  n = 3k   x²ⁿ + xⁿ + 1 = (x²ⁿ – 1) + (xⁿ – 1) – 1  не делится на  x² + x + 1.   б) Многочлен вида  x^6k – 1  делится на  x⁶ – 1 = (x³ – 1)(x³ + 1),  а  x³ + 1  делится на  x² – x + 1.  Поэтому ответ зависит только от остатка от деления n на 6. Проверим все 6 случаев.

  x⁰ – x⁰ + 1 = 3  не делится на  x² – x + 1.

  x² – x + 1  – делится.

  x⁴ – x² + 1 = (x⁴ + x) – (x² – x + 1) – 2x + 2  – не делится.

  x⁶ – x³ + 1 = (x⁶ – 1) – (x³ + 1) + 3  – не делится.

  x⁸ – x⁴ + 1 = (x⁶ – x²) – (x⁴ + x) + (x² – x + 1) + 2x  – не делится.

  x¹⁰ – x⁵ + 1 = (x¹⁰ + x) – (x⁵ – x²) + x² – x + 1  – делится.

а)  n ≡ 1, 2 (mod 3);   б)  n ≡ 1, 5 (mod 6).