Олимпиадные задачи из источника «глава 4. Арифметика остатков» для 8 класса
Имеется n целых чисел. Доказать, что среди них найдется несколько, или быть может одно, сумма которых делится на n.
Существует ли степень двойки, из которой перестановкой цифр можно получить другую степень двойки?
Из шахматной доски вырезали две клетки – a1 и h8. Можно ли оставшуюся часть доски покрыть 31 косточкой домино так, чтобы каждая косточка покрывала ровно две клетки доски?
Дано <i>n</i> чисел, <i>x</i><sub>1</sub>, <i>x</i><sub>2</sub>, ..., <i>x<sub>n</sub></i>, при этом <i>x<sub>k</sub></i> = ±1. Доказать, что если <i>x</i><sub>1</sub><i>x</i><sub>2</sub> + <i>x</i><sub>2</sub><i>x</i><sub>3</sub> + ... + <i>x<sub>n</sub>x</i><sub>1</sub> = 0, то <i>n</i> делится на 4.
Известно, что <i>ax</i><sup>4</sup> + <i>bx</i>³ + <i>cx</i>² + <i>dx + e</i>, где <i>a, b, c, d, e</i> – данные целые числа, при любом целом <i>x</i> делится на 7.
Доказать, что все числа <i>a, b, c, d, e</i> делятся на 7.
Докажите, что для любого нечётного натурального числа <i>a</i> существует такое натуральное число <i>b</i>, что 2<sup><i>b</i></sup> – 1 делится на <i>a</i>.
В китайской натурофилософии выделяются пять первоэлементов природы – дерево, огонь, металл, вода и земля, которым соответствуют пять цветов – синий (или зелёный), красный, белый, чёрный и жёлтый. В восточном календаре с древних времен используется 12-летний животный цикл так, что каждому из 12 годов в цикле соответствует одно из животных. Кроме того, каждый год проходит под покровительством одной из стихий и окрашивается в один из цветов:
годы, оканчивающиеся на 0 и 1 – годы металла (цвет белый);
годы, оканчивающиеся на 2 и 3 – это годы воды (цвет чёрный);
годы, оканчивающиеся на 4 и 5 – годы дерева (цвет синий);
годы, оканчивающиеся на 6 и 7 – годы огня (цвет красный);
годы, оканчивающиеся на 8 и 9 – годы земли (цвет жёлтый).
В 60-летнем календарном цикле каждое...
Найдите наименьшее натуральное число, половина которого – квадрат, треть – куб, а пятая часть – пятая степень.
Найдите такое наименьшее чётное натуральное число <i>a</i>, что <i>a</i> + 1 делится на 3, <i>a</i> + 2 – на 5, <i>a</i> + 3 – на 7, <i>a</i> + 4 – на 11, <i>a</i> + 5 – на 13.
Найдите остаток от деления числа 1000! на 10<sup>250</sup>.
На столе лежат книги, которые надо упаковать. Если их связать в одинаковые пачки по 4, по 5 или по 6 книг, то каждый раз останется одна лишняя книга, а если связать по 7 книг в пачку, то лишних книг не останется. Какое наименьшее количество книг может быть на столе?
Найдите наименьшее натуральное число, дающее при делении на 2, 3, 5, 7 остатки 1, 2, 4, 6 соответственно.
Двое пишут а) 30-значное; б) 20-значное число, употребляя только цифры 1, 2, 3, 4, 5. Первую цифру пишет первый, вторую – второй, третью – первый и т. д. Может ли второй добиться того, чтобы полученное число разделилось на 9, если первый стремится ему помешать?
Докажите, что если числа <i>N</i> и 5<i>N</i> имеют одинаковую сумму цифр, то <i>N</i> делится на 9.
Найдите все такие трёхзначные числа, которые в 12 раз больше суммы своих цифр.
При каких <i>x</i> и <i>y</i> число <span style="text-decoration: overline;"><i>xxyy</i></span> является квадратом натурального числа?
Аналогичные указанному в задаче <a href="https://mirolimp.ru/tasks/160808">160808</a> признаки делимости существуют и для всех чисел вида 10<i>n</i> ± 1 и их делителей. Например, существует признак делимости на 21, из которого получается и признак делимости на 7. Как устроен признак делимости на 21?
Существует следующий способ проверить, делится ли данное число <i>N</i> на 19:
1) отбрасываем последнюю цифру у числа <i>N</i>;
2) прибавляем к полученному числу произведение отброшенной цифры на 2;
3) с полученным числом проделываем операции 1) и 2) до тех пор, пока не останется число, меньшее или равное 19.
4) если остается 19, то 19 делится на <i>N</i>, в противном случае <i>N</i> не делится на 19.
Докажите справедливость этого признака делимости.
Докажите, что в записи числа 2<sup>30</sup> есть по крайней мере две одинаковые цифры, не вычисляя его.
Коля Васин выписал пример на умножение, а затем заменил все цифры буквами: одинаковые цифры одинаковыми буквами, а разные – разными. Получилось равенство <span style="text-decoration: overline;"><i>ab</i></span>·<span style="text-decoration: overline;"><i>cd</i></span> = <span style="text-decoration: overline;"><i>effe</i></span>. Не ошибся ли Коля?
Докажите ошибочность следующих записей:
а) 4237·27925 = 118275855;
б) 42971064 : 8264 = 5201;
в) 1965² = 3761225;
г) <img width="66" height="36" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/60804/problem_60804_img_2.gif"> = 23.
На доске написано число 8<sup><i>n</i></sup>. У него вычисляется сумма цифр, у полученного числа вновь вычисляется сумма цифр, и так далее, до тех пор, пока не получится однозначное число. Что это за число, если <i>n</i> = 2001?
Два числа <i>a</i> и <i>b</i> получаются друг из друга перестановкой цифр. Чему равен цифровой корень (см. задачу <a href="https://mirolimp.ru/tasks/160794">160794</a>) числа <i>a – b</i>?
Какие цифровые корни (см. задачу <a href="https://mirolimp.ru/tasks/160794">160794</a>) бывают у полных квадратов и полных кубов?
Найдите наименьшее число, запись которого состоит лишь из нулей и единиц, делящееся на 225.