Назовём основными нечётные числа, не кратные 5. Согласно формуле из задачи 160553  1000! делится на  2⁹⁹⁴·5²⁴⁹ = 2⁷⁴⁵·10²⁴⁹.  Таким образом это чисдо оканчивается на 249 нулей, а нужно найти стоящую перед ними цифру. Представив каждое число от 1 до 1000 в виде 2^m5ⁿa, где a – основное число, мы получим, что эта цифра совпадает с последней цифрой числа 2⁷⁴⁵P, где – произведение получившихся основных чисел. Заметим еще. что число

2⁷⁴⁵ = 2·16¹⁸⁶  оканчивается двойкой, так что достаточно найти последнюю цифру числа 2P.

  Для пары  (m, n),  где  2^m5ⁿ ≤ 1000,  в 1000! попадают множители вида 2^m5ⁿa, где a – основные числа, не превосходящие  [1000·2^–m5^–n].  Их произведение обозначим P_m,n. Пусть P – произведение всех таких чисел P_m,n. Вычислим эти произведения.

  Сомножители P_0,0 – все основные числа от 1 до 1000. Среди них по 100 чисел, оканчивающихся на 1, 3, 5, 7. Поскольку  3·7 ≡ 9·9 ≡ 1 (mod 10),

P_0,0 ≡ 1 (mod 10).

  Сомножители P_1,0 – все основные числа от 1 до 499. Аналогично P_1,0 ≡ 1 (mod 10).

  С P_2,0 (основные числа, меньшие 250) ситуация меняется: для числа 253 нет парной семёрки  (257 > 250).  Поэтому  P_2,0 ≡ 3 (mod 10).

  Также и  P_3,0 ≡ 3 (mod 10)  (для 123 нет парной семёрки).

  P_4,0 ≡ 1 (mod 10)  (основные числа от 1 до 61).

  P_5,0 ≡ 9 (mod 10)  (основные числа от 1 до 31, количество девяток нечётно).

  P_6,0 ≡ 3·9 (mod 10)  (основные числа – 1, 3. 7, 9, 11, 13).

  P_7,0 ≡ 1 (mod 10)  (основные числа – 1, 3 и 7).

  P_8,0 = 3 (mod 10)  (основные числа – 1 и 3).

  P_9,0 = 9 (mod 10)  (здесь единственное основное число – 1).

  P_0,1 ≡ 1 (mod 10)   (основные числа, меньшие 200).

  P_1,1 ≡ 1 (mod 10)  (основные числа, меньшие 100).

  P_1,2 ≡ 9 (mod 10)  (основные числа от 1 до 49, количество девяток нечётно).

  P_1,3 ≡ 3 (mod 10)  (основные числа от 1 до 25).

  P_1,4 ≡ 9 (mod 10)  (основные числа – 1, 3. 7, 9, 11).

  P_1,5 = 3 (mod 10)  (основные числа – 1, 3).

  P_1,6 = 3  (основные числа – 1, 3).

  P_1,7 = 1  (единственное основное число – 1).

  P_0,2 ≡ 1 (mod 10)  (основные числа, меньшие 40).

  P_1,2 ≡ 1 (mod 10)  (основные числа, меньшие 20).

  P_2,2 ≡ 9 (mod 10)  (основные числа – 1, 3, 7, 9).

  P_3,2 = 3 (mod 10)  (основные числа – 1, 3).

  P_3,2 = 1 (единственное основное число – 1).

  P_0,3 ≡ 1 (mod 10)  (основные числа – 1, 3, 7).

  P_1,3 = 3 (mod 10)  (основные числа – 1, 3).

  P_2,3 = P_3,3  (единственное основное число – 1).

  Итак,  P ≡ 3⁸·9⁶ = 9¹⁰ ≡ 1 (mod 10),  то есть число 2P оканчивается двойкой.

2·10²⁴⁹.