Олимпиадные задачи из источника «глава 11. Последовательности и ряды» для 8 класса

Докажите, что   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61528/problem_61528_img_2.gif">

Числа <i>P_kl</i>(<i>n</i>) определены в задаче <a href="https://mirolimp.ru/tasks/161525">161525</a>.

Обозначим через <i>P_k,l</i>(<i>n</i>) количество разбиений числа <i>n</i> на не более чем <i>k</i> слагаемых, каждое из которых не превосходит <i>l</i>.

Докажите равенства:

  а)  <i>P_k,l</i>(<i>n</i>) – <i>P</i>_{<i>k,l</i>–1}(<i>n</i>) = <i>P</i>_{<i>k</i>–1,<i>l</i>}(<i>n – l</i>);

  б)  <i>P_k,l</i>(<i>n</i>) – <i>P</i>_{<i>k</i>–1,<i>l</i>}(<i>n</i>) = <i>P</i><sub><i>k,l</i>–1</sub&...

Переменные<i>x</i>и<i>y</i>связаны равенством<div align="CENTER"> <i>x</i> = <i>y</i> + <i>y</i>² + <i>y</i>³ +...+ <i>y</i>ⁿ +... </div>Разложите<i>y</i>по степеням<i>x</i>.

Каков знак<i>n</i>-го члена в разложении произведения<div align="CENTER"> (1 - <i>a</i>)(1 - <i>b</i>)(1 - <i>c</i>)(1 - <i>d</i> )...= 1 - <i>a</i> - <i>b</i> + <i>ab</i> - <i>c</i> + <i>ac</i> + <i>bc</i> - <i>abc</i> - <i>d</i> +... </div>(<i>n</i>= 0, 1, 2,...)?

Определите коэффициент<i>a</i>_nв разложении<div align="CENTER"> (1 + <i>qx</i>)(1 + <i>qx</i>²)(1 + <i>qx</i>⁴)(1 + <i>qx</i>⁸)(1 + <i>qx</i>¹⁶)...= <i>a</i>₀ + <i>a</i>₁<i>x</i> + <i>a</i>₂<i>x</i>² + <i>a</i>₃<i>x</i>³ +... </div>

Придумайте какое-либо взаимно-однозначное соответствие между разбиениями натурального числа на различные и на нечётные слагаемые.

Обозначим через <i>d</i>(<i>n</i>) количество разбиений числа <i>n</i> на различные слагаемые, а через <i>l</i>(<i>n</i>) – на нечётные. Докажите равенства:   а)  <i>d</i>(0) + <i>d</i>(1)<i>x</i> + <i>d</i>(2)<i>x</i>² + ...  =  (1 + <i>x</i>)(1 + <i>x</i>²)(1 + <i>x</i>³)...;   б)  <i>l</i>(0) + <i>l</i>(1)<i>x</i> + <i>l</i>(2)<i>x</i>² + ...  =  (1 – <i>x</i>)^–1(1 – <i>x</i>³)^–1(1 – <i>x</i>⁵)^–1...;   в)  <i>d</i>(<i>n</i>)...

Докажите, что каждое натуральное число <i>n</i> может быть  2^<i>n</i>–1 – 1  различными способами представлено в виде суммы <i>меньших</i> натуральных слагаемых, если два представления, отличающихся хотя бы порядком слагаемых, считать различными.

На доске написано <i>n</i> натуральных чисел. Пусть <i>a_k</i> – количество тех из них, которые больше <i>k</i>. Исходные числа стерли и вместо них написали все положительные <i>a_k</i>. Докажите, что если с новыми числами сделать то же самое, то на доске окажется исходный набор чисел.

Например, для чисел 5, 3, 3, 2, получается следующая цепочка   (5, 3, 3, 2)  →  (4, 4, 3, 1, 1)  →  (5, 3, 3, 2).

Пусть <i>p</i>(<i>n</i>) – количество разбиений числа <i>n</i> (определение разбиений смотри <a href="https://problems.ru/thes.php?letter=16#Razbienia">здесь</a>). Докажите равенства:

<div align="center"><i>p</i>(0) + <i>p</i>(1)<i>x</i> + <i>p</i>(2)<i>x</i> '' + ...  =  (1 + <i>x</i> + <i>x</i>² + ...)...(1 + <i>x^k</i> + <i>x</i>^2<i>k</i> + ...)...  =  (1 – <i>x</i>)^–1(1 – <i>x</i>²)^–1(1 – <i>x</i>³)^–1... </div> (По определению сч...

Предположим, что у нас имеется 1000000 автобусных билетов с номерами от 000000 до 999999. Будем называть билет <i>счастливым</i>, если сумма первых трёх цифр его номера равна сумме трёх последних. Пусть <i>N</i> – количество счастливых билетов. Докажите равенства:

  а)  (1 + <i>x</i> + ... + <i>x</i>⁹)³(1 + <i>x</i>^–1 + ... + <i>x</i>^–9)³ = <i>x</i>²⁷ + ... + <i>a</i>₁<i>x</i> + <i>N</i> + <i>a</i>₁<i>x</i> + ... + <i>x</i>^–27;...

Пусть <i>a_n</i> – число решений уравнения  <i>x</i>₁ + ... + <i>x_k</i> = <i>n</i>   в целых неотрицательных числах и <i>F</i>(<i>x</i>) – производящая функция последовательности <i>a_n</i>.

  а) Докажите равенства:  <i>F</i>(<i>x</i>) = (1 + <i>x</i> + <i>x</i>² + ...)^<i>k</i> = (1 – <i>x</i>)^–<i>k</i>.

  б) Найдите формулу для <i>a_n</i>, пользуясь задачей <a href="https://mirolimp.ru/tasks/161490">161490</a>.

Вычислите: а) (1 +<i>x</i>)^-1;     б) (1 -<i>x</i>)^-1;    в) (1 -<i>x</i>)^-2.

<b>Обращение степенного ряда.</b>Докажите, что если<i>a</i>₀$\ne$0, то для ряда<i>F</i>(<i>x</i>) существует ряд<i>F</i>^-1(<i>x</i>) =<i>b</i>₀+<i>b</i>₁<i>x</i>+...+<i>b</i>_n<i>x</i>ⁿ+... такой, что<i>F</i>(<i>x</i>)<i>F</i>^-1(<i>x</i>) = 1.

Найдите произведения следующих формальных степенных рядов: <table> <tr><td align="LEFT">а) (1 + <i>x</i> + <i>x</i>² + <i>x</i>³ +...)(1 - <i>x</i> + <i>x</i>² - <i>x</i>³ +...);</td> </tr> <tr><td align="LEFT">б) (1 + <i>x</i> + <i>x</i>² + <i>x</i>³ +...)²;</td> </tr> <tr><td align="LEFT"> в) $\left(\vphantom{1+x+\dfrac{x^2}{2!}+\ldots+\dfrac{x^n}{n!}+\ldots}\right.$1 + <i>x</i> + ${\dfrac{x^2}{2!}}$ +...+ ${\dfrac{x^...

<i>Определение.</i>Последовательность чисел<i>a</i>₀,<i>a</i>₁,...,<i>a</i>_n,..., которая удовлетворяет с заданными<i>p</i>и<i>q</i>соотношению<div><table cellpadding="0" width="100%" align="CENTER"> <tr valign="MIDDLE"><td align="CENTER"> <i>a</i>_n+2=<i>p</i><i>a</i>_n+1+<i>q</i><i>a</i>_n </td><td> (<i>n</i>=0,1,2,...)</td> <td nowrap width="10" align="RIGHT"> (11.2)</td></tr> </tab...

<b>Дискретная теорема Лиувилля.</b>Пусть<i>f</i>(<i>x</i>,<i>y</i>) — ограниченная гармоническая (определение смотри в задаче<a href="https://mirolimp.ru/tasks/161455">11.28</a>) функция, то есть существует положительная константа<i>M</i>такая, что<div align="CENTER"> $\displaystyle \forall$(<i>x</i>, <i>y</i>) $\displaystyle \in$ $\displaystyle \mathbb {Z}$²    | <i>f</i> (<i>x</i>, <i>y</i>)| $\displaystyle \leqslant$ <i>M</i>. </div>Докажите, что функция<i>f</i>(<i>x</i>,<i>y</i>) равна константе.

Пусть<i>f</i>(<i>x</i>,<i>y</i>) — гармоническая функция (определение смотри в задаче<a href="https://mirolimp.ru/tasks/161455">11.28</a>). Докажите, что функции$\Delta_{x}^{}$<i>f</i>(<i>x</i>,<i>y</i>) =<i>f</i>(<i>x</i>+ 1,<i>y</i>) -<i>f</i>(<i>x</i>,<i>y</i>) и$\Delta_{y}^{}$<i>f</i>(<i>x</i>,<i>y</i>) =<i>f</i>(<i>x</i>,<i>y</i>+ 1) -<i>f</i>(<i>x</i>,<i>y</i>) также будут гармоническими.

<i>Определение.</i>Пусть функция<i>f</i>(<i>x</i>,<i>y</i>) задана во всех точках плоскости с целыми координатами. Назовем функцию<i>f</i>(<i>x</i>,<i>y</i>)<i>гармонической</i>, если ее значение в каждой точке равно среднему арифметическому значений функции в четырех соседних точках, то есть: <i>f</i>(<i>x</i>,<i>y</i>)=1/4(<i>f</i>(<i>x</i>+1,<i>y</i>)+<i>f</i>(<i>x</i>-1,<i>y</i>)+<i>f</i>(<i>x</i>,<i>y</i>+1) +<i>f</i>(<i>x</i>,<i>y</i>-1)). Пусть<i>f</i>(<i>x</i>,<i>y</i>) и<...

Для каких натуральных<i>n</i>в выражении<div align="CENTER"> ±1²±2²±3²±...±<i>n</i>² </div>можно так расставить знаки + и -, что в результате получится 0?

Докажите, что при всех натуральных <i>n</i> число   <i>f</i> (<i>n</i>) = 2^{2<i>n</i>–1} – 9<i>n</i>² + 21<i>n</i> – 14   делится на 27.

Найдите : <table> <tr><td align="LEFT">а) $\sum\limits_{k=1}^{n}$${\dfrac{1}{k(k+1)}}$;    </td> <td align="LEFT">д) $\sum\limits_{k=1}^{n}$${\dfrac{4k+1}{k(k+1)(4k^2-1)}}$;</td> </tr> <tr><td align="LEFT">б) $\sum\limits_{k=2}^{n}$${\dfrac{1}{k^2-1}}$;    </td> <td align="LEFT">е) $\sum\limits_{k=1}^{n}$${\dfrac{k-1}{k!}}$;</td> </tr> <tr><td align="LEFT"> в) $\sum\limits_{k=1}^{n}$${\dfrac{1}{k(k+1)(k+2)}}$;    </td> <td align="LEFT"> ж) $\sum\limits_{k=1}^{n}$<i>k</i>! <i>k</i>.</td> </tr> <tr><td align="LEFT"> г) $\sum\limits_{k=1}^{n}$${\dfrac{(k-1),2^k}{k(k+1)}}$;&lt...

Найдите последовательность {<i>a</i>_n} такую, что$\Delta$<i>a</i>_n=<i>n</i>2ⁿ. (Вспомните как вычисляют$\int$<i>xe</i>^x d<i>x</i>.)

Найдите представление для$\Delta$(<i>a</i>_n^.<i>b</i>_n) через$\Delta$<i>a</i>_nи$\Delta$<i>b</i>_n. Сравните полученную формулу с формулой для производной произведения двух функций.

Докажите следующие свойства оператора взятия конечной разности, подобные свойствам оператора дифференцирования: а) $\Delta$${\dfrac{1}{b_n}}$= -${\dfrac{\Delta b_n}{b_nb_{n+1}}}$;        б) $\Delta$$\left(\vphantom{\dfrac{a_n}{b_n}}\right.$${\dfrac{a_n}{b_n}}$$\left.\vphantom{\dfrac{a_n}{b_n}}\right)$=${\dfrac{b_n\Delta a_n-a_n\Delta b_n}{b_nb_{n+1}}}$.