Олимпиадные задачи из источника «Интернет-ресурсы» для 4-9 класса - сложность 3-4 с решениями

Пусть <i>O</i> – центр описанной окружности остроугольного неравнобедренного треугольника <i>ABC</i>, точка <i>C</i>₁ симметрична <i>C</i> относительно <i>O</i>, <i>D</i> – середина стороны <i>AB</i>, <i>K</i> – центр описанной окружности треугольника <i>ODC</i>₁. Докажите, что точка <i>O</i> делит пополам отрезок прямой <i>OK</i>, лежащий внутри угла <i>ACB</i>.

На стороне <i>AC</i> треугольника <i>ABC</i> отмечена точка <i>K</i>, причём  <i>AK</i> = 2<i>KC</i>  и  ∠<i>ABK</i> = 2∠<i>KBC</i>.  <i>F</i> – середина стороны <i>AC, L</i> – проекция точки <i>A</i> на <i>BK</i>. Докажите, что прямые <i>FL</i> и <i>BC</i> перпендикулярны.

Точки <i>A</i>₁, <i>B</i>₁ и <i>C</i>₁ – основания высот треугольника <i>ABC</i>. Известно, что  <i>A</i>₁<i>B</i>₁ = 13,  <i>B</i>₁<i>C</i>₁ = 14,  <i>A</i>₁<i>C</i>₁ = 15.  Найдите площадь треугольника <i>ABC</i>.

В треугольнике<i> ABC </i>известно, что<i> <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116315/problem_116315_img_2.gif"> B = </i>50<i>^o </i>,<i> <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116315/problem_116315_img_2.gif"> C = </i>70<i>^o </i>. Найдите углы треугольника<i> OHC </i>, где<i> H </i>— точка пересечения высот,<i> O </i>— центр окружности, вписанной в треугольник<i> ABC </i>.

Точки<i> A </i>,<i> B </i>и<i> C </i>лежат на окружности радиуса 4 с центром<i> O </i>, а точка<i> M </i>— на прямой, касающейся этой окружности в точке<i> B </i>, причём<i> <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116313/problem_116313_img_2.gif"> AMC = </i>42<i>^o </i>, а длины отрезков<i> AM </i>,<i> BM </i>и<i> CM </i>образуют убывающую геометрическую прогрессию (в указанном порядке). Найдите угол<i> AMO </i>и расстояние между точками<i> A </i>и<i> C </i>. Какой из углов больше:<i> AOM </i>или<i> ACM </i>?

Точки<i> A </i>,<i> B </i>и<i> C </i>лежат на окружности радиуса 2 с центром<i> O </i>, а точка<i> K </i>— на прямой, касающейся этой окружности в точке<i> B </i>, причём<i> <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116312/problem_116312_img_2.gif"> AKC = </i>46<i>^o </i>, а длины отрезков<i> AK </i>,<i> BK </i>и<i> CK </i>образуют возрастающую геометрическую прогрессию (в указанном порядке). Найдите угол<i> AKO </i>и расстояние между точками<i> A </i>и<i> C </i>. Какой из углов больше:<i> ACK </i>или<i> AOK </i>?

Отрезок<i> AL </i>является биссектрисой треугольника<i> ABC </i>. Окружность радиуса 3 проходит через вершину<i> A </i>, касается стороны<i> BC </i>в точке<i> L </i>и пересекает сторону<i> AB </i>в точке<i> K </i>. Найдите угол<i> BAC </i>и площадь треугольника<i> ABC </i>, если<i> BC=</i>4,<i> AK:LB=</i>3<i>:</i>2.

Отрезок<i> KB </i>является биссектрисой треугольника<i> KLM </i>. Окружность радиуса 5 проходит через вершину<i> K </i>, касается стороны<i> LM </i>в точке<i> B </i>и пересекает сторону<i> KL </i>в точке<i> A </i>. Найдите угол<i> MKL </i>и площадь треугольника<i> KLM </i>, если<i> ML=</i>9<i><img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116310/problem_116310_img_2.gif"> </i>,<i> KA:LB=</i>5<i>:</i>6.

Точки <i>K, L</i> и <i>M</i> лежат на одной прямой. Отрезок <i>KL</i> является диаметром первой окружности, а отрезок <i>LM</i> – диаметром второй окружности. Прямая, проходящая через точку <i>K</i>, пересекает первую окружность в точке <i>N</i> и касается второй окружности в точке <i>S,  LN</i> = 8,  <i>NS</i> = 4.  Найдите радиусы окружностей.

Точки <i>A, B</i> и <i>C</i> лежат на одной прямой. Отрезок <i>AB</i> является диаметром первой окружности, а отрезок <i>BC</i> – диаметром второй окружности. Прямая, проходящая через точку <i>A</i>, пересекает первую окружность в точке <i>D</i> и касается второй окружности в точке <i>E,  BD</i> = 9,  <i>BE</i> = 12.  Найдите радиусы окружностей.

Две окружности касаются внешним образом: друг друга в точке<i> A </i>, а третьей окружности — в точках<i> B </i>и<i> C </i>. Продолжение хорды<i> AB </i>первой окружности пересекает вторую окружность в точке<i> D </i>, продолжение хорды<i> AC </i>пересекает первую окружность в точке<i> E </i>, а продолжения хорд<i> BE </i>и<i> CD </i>— третью окружность в точках<i> F </i>и<i> G </i>соответственно. Найдите<i> BС </i>, если<i> BF=</i>12и<i> BG=</i>15.

Две окружности касаются внешним образом: друг друга в точке<i> A </i>, а третьей окружности — в точках<i> B </i>и<i> C </i>. Продолжение хорды<i> AB </i>первой окружности пересекает вторую окружность в точке<i> D </i>, продолжение хорды<i> AC </i>пересекает первую окружность в точке<i> E </i>, а продолжения хорд<i> BE </i>и<i> CD </i>— третью окружность в точках<i> F </i>и<i> G </i>соответственно. Найдите<i> BG </i>, если<i> BC=</i>5и<i> BF=</i>12.

Продолжения противоположных сторон<i> AB </i>и<i> CD </i>четырёхугольника<i> ABCD </i>пересекаются в точке<i> P </i>, а продолжения сторон<i> BC </i>и<i> AD </i>— в точке<i> Q </i>. Докажите, что середины диагоналей<i> AC </i>и<i> BD </i>, а также середина отрезка<i> PQ </i>лежат на одной прямой (прямая Гаусса}.

Могут ли три точки с целыми координатами быть вершинами равностороннего треугольника?

В квадрате со стороной, равной 1, произвольно берут 101 точку (не обязательно внутри квадрата, возможно, часть на сторонах), причём никакие три из них не лежат на одной прямой. Докажите, что существует треугольник с вершинами в этих точках, площадь которого не больше 0,01.

Вершины треугольника лежат внутри прямоугольника или на его сторонах. Докажите, что площадь треугольника не превосходит половины площади прямоугольника.

Середина каждой стороны параллелограмма соединена с концами противоположной стороны. Найдите площадь восьмиугольника, образованного пересечениями проведённых отрезков, если площадь параллелограмма равна 1.

Каждая сторона треугольника больше 100. Может ли его площадь быть меньше 0,01?

Перпендикуляры, опущенные из внутренней точки равностороннего треугольника, на его стороны, и отрезки, соединяющие эту точку с вершинами, разбивают треугольник на шесть прямоугольных треугольников. Докажите, что сумма площадей трёх из них, взятых через один, равна сумме площадей трёх остальных.

Задача Паппа. III в. н.э.}На отрезке<i> AB </i>взята точка<i> C </i>и на отрезках<i> AB </i>,<i> BC </i>,<i> CA </i>как на диаметрах построены соответственно полуокружности<i> α </i>,<i> β </i>,<i> γ </i>по одну сторону от<i> AC </i>. В криволинейный треугольник, образованный этими полуокружностями, вписана окружность<i> δ</i>1, в криволинейный треугольник, образованный полуокружностями<i> α </i>,<i> β </i>и окружностью<i> δ</i>1, вписана окружность<i> δ</i>2и т.д. (окружность<i> δ_n </i>вписана в криволинейный треугольник, образованный полуокружностями<i> α </i>,<i>...

Докажите, что если при инверсии относительно некоторой окружности с центром<i> O </i>окружность<i> S </i>переходит в окружность<i> S' </i>, то<i> O </i>— один из центров гомотетии окружностей<i> S </i>и<i> S' </i>.

Докажите, что точки пересечения смежных триссектрис улов произвольного треугольника являются вершинами равностороннего треугольника.

С помощью циркуля и линейки постройте равнобедренный прямоугольный треугольник, вершины острых углов которого лежали бы на двух данных окружностях, а вершина прямого угла была расположена в данной точке.

С помощью циркуля и линейки постройте квадрат, три вершины которого лежали бы на трёх данных параллельных прямых.

С помощью циркуля и линейки впишите квадрат в данный параллелограмм.