Олимпиадная задача по планиметрии: площадь восьмиугольника в параллелограмме

Задача

Середина каждой стороны параллелограмма соединена с концами противоположной стороны. Найдите площадь восьмиугольника, образованного пересечениями проведённых отрезков, если площадь параллелограмма равна 1.

Решение

Пусть K , L , M и N — середины сторон соответственно AB , BC , CD и AD параллелограмма ABCD площади 1, O — центр параллелограмма. Тогда площадь параллелограмма KBLO равна , а площадь треугольника KLO равна . Пусть прямые AL и BN пересекаются в точке P , прямые BM и CK — в точке Q , а прямые AL и CK — в точке H . Тогда P , H и Q — три последовательные вершины восьмиугольника, о котором говорится в условии задачи. При этом P — середина стороны KO треугольника KLO , Q — середина стороны LO , а H — точка пересечения медиан LP и KQ этого треугольника, поэтому площадь четырёхугольника OPHQ равна трети площади треугольника KLO , т.е. · = . Осталось заметить, что площадь восьмиугольника в четыре раза больше площади четырёхугольника OPHQ , а значит, равна4· = .