Олимпиадная задача по планиметрии: площадь треугольника и прямоугольника (8-9 класс)
Задача
Вершины треугольника лежат внутри прямоугольника или на его сторонах. Докажите, что площадь треугольника не превосходит половины площади прямоугольника.
Решение
Предположим, что вершины M и L треугольника KLM лежат на одной из сторон, например CD , прямоугольника ABCD (рис.1). Тогда, ML 
CD и KH AD , где KH —
высота треугольника KLM . Следовательно,
SΔ KLM = 
ML· KH
CD · AD = SABCD.
Пусть вершина K треугольника KLM совпадает с одной из
вершин прямоугольника ABCD , например с A (рис.2), а вершины L и M лежат на сторонах прямоугольника, противоположных
вершине A , например L — на BC , а M — на CD .
Проведём через точку L прямую, параллельную AB . Пусть
эта прямая пересекает отрезок AD в точке P , а отрезок AM — в точке Q . Тогда по ранее доказанному SΔ ALQ SABLP и SΔ MLQ SCLPD .
Следовательно,
SΔ ALM=SΔ ALQ+SΔ MLQ
SABLP+SCLPD =
(SABLP+SCLPD)= SABCD.
Наконец, если хотя бы одна из вершин треугольника KLM лежит внутри прямоугольника ABCD (рис.3), то проведя через вершины, лежащие внутри прямоугольника, прямые, параллельные соответствующим сторонам прямоугольника, получим новый прямоугольник, площадь которого меньше площади исходного, а вершины треугольника KLM лежат на сторонах нового прямоугольника. Применяя доказанные ранее утверждения, и в этом случае получим требуемое неравенство.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь