Олимпиадные задачи по теме «Методы математического анализа» для 8 класса

Дан треугольник <i>ABC</i>. Прямая <i>l</i> касается вписанной в него окружности. Обозначим через <i>l_a, l_b, l_c</i> прямые, симметричные <i>l</i> относительно биссектрис внешних углов треугольника. Докажите, что треугольник, образованный этими прямыми, равен треугольнику <i>ABC</i>.

Верно ли, что если  <i>b > a + c</i> > 0,  то квадратное уравнение  <i>ax</i>² + <i>bx + c</i> = 0   имеет два корня?

Дракон заточил в темницу рыцаря и выдал ему 100 разных монет, половина из которых волшебные (какие именно – знает только дракон). Каждый день рыцарь раскладывает все монеты на две кучки (не обязательно равные). Если в кучках окажется поровну волшебных монет или поровну обычных, дракон отпустит рыцаря. Сможет ли рыцарь гарантированно освободиться не позже, чем

  а) на 50-й день?

  б) на 25-й день?

Две команды шахматистов одинаковой численности сыграли матч: каждый сыграл по одному разу с каждым из другой команды. В каждой партии давали 1 очко за победу, ½ – за ничью и 0 – за поражение. В итоге команды набрали поровну очков. Докажите, что какие-то два участника матча тоже набрали поровну очков, если в обеих командах было:

  а) по 5 шахматистов;

  б) произвольное равное число шахматистов.

На плоскости даны три параллельные прямые.

Найдите геометрическое место центров вписанных окружностей треугольников, вершины которых расположены (по одной) на этих прямых.

Существуют ли такие натуральные <i>x</i> и <i>y</i>, что  <i>x</i>⁴ – <i>y</i>⁴ = <i>x</i>³ + <i>y</i>³?

В саду растут яблони и груши — всего 7 деревьев (деревья обоих видов присутствуют). Ближе всех к каждому дереву растет дерево того же вида и дальше всех от каждого дерева растет дерево того же вида. Приведите пример того, как могут располагаться деревья в саду. Комментарий. Имелось в виду, что если ближайших к данному дереву (или самых дальних от данного дерева) несколько, то условие должно выполнятся для<b>каждого</b>из них.

Какое наибольшее значение может принимать выражение   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/115510/problem_115510_img_2.gif">   где <i>a, b, c</i> – попарно различные ненулевые цифры?

Даны две картофелины произвольной формы и размера. Докажите, что по поверхности каждой из них можно проложить по проволочке так, что получатся два изогнутых колечка (не обязательно плоских), одинаковых по форме и размеру.

На шахматной доске расставлены во всех клетках 32 белых и 32 черных пешки. Пешка может бить пешки противоположного цвета, делая ход по диагонали на одну клетку и становясь на место взятой пешки (белые пешки могут бить только вправо-вверх и влево-вверх, а чёрные – только влево-вниз и вправо-вниз). Другим образом пешки ходить не могут. Какое наименьшее количество пешек может остаться на доске?

Квадратная доска разделена семью прямыми, параллельными одной стороне доски, и семью прямыми, параллельными другой стороне доски, на 64 прямоугольные клетки, которые покрашены в белый и чёрный цвета в шахматном порядке. Расстояния между соседними прямыми не обязательно одинаковы, поэтому клетки могут быть разных размеров. Известно, однако, что отношение площади каждой белой клетки к площади любой чёрной клетки не больше 2. Найдите наибольшее возможное отношение суммарной площади белых клеток к суммарной площади чёрных.

Найдите все такие пары  (<i>x, y</i>)  натуральных чисел, что  <i>x + y = aⁿ,  x</i>² + <i>y</i>² = <i>a^m</i>  для некоторых натуральных <i>a, n, m</i>.

Найдите все такие пары  (<i>a, b</i>)  натуральных чисел, что при любом натуральном <i>n</i> число  <i>aⁿ + bⁿ</i>  является точной (<i>n</i>+1)-й степенью.

Даны натуральное число  <i>n</i> > 3  и положительные числа <i>x</i>₁, <i>x</i>₂, ..., <i>x_n</i>, произведение которых равно 1.

Докажите неравенство  <img align="middle" src="/storage/problem-media/109811/problem_109811_img_2.gif">

Два многочлена  <i>P</i>(<i>x</i>) = <i>x</i>⁴ + <i>ax</i>³ + <i>bx</i>² + <i>cx + d</i>  и  <i>Q</i>(<i>x</i>) = <i>x</i>² + <i>px + q</i>  принимают отрицательные значения на некотором интервале <i>I</i> длины более 2, а вне <i>I</i> – неотрицательны. Докажите, что найдётся такая точка <i>x</i>₀, что  <i>P</i>(<i>x</i>₀) < <i>Q</i>(<i>x</i>₀).

Решите в целых числах уравнение  (<i>x</i>² – <i>y</i>²)² = 1 + 16<i>y</i>.

Известно, что  <i>f</i>(<i>x</i>), <i>g</i>(<i>x</i>) и <i>h</i>(<i>x</i>) – квадратные трёхчлены. Может ли уравнение  <i>f</i>(<i>g</i>(<i>h</i>(<i>x</i>)))  = 0 иметь корни 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 и 8?

Сборная Лихтенштейна по футболу выиграла у сборной Люксембурга со счетом 9:5. Докажите, что по ходу матча был момент, когда сборной Лихтенштейна оставалось забить столько голов, сколько уже забила сборная Люксембурга.

Вершины 50-угольника делят окружность на 50 дуг, длины которых – 1, 2, 3, ..., 50 в некотором порядке. Известно, что каждая пара "противоположных" дуг (соответствующих противоположным сторонам 50-угольника) отличается по длине на 25. Докажите, что у 50-угольника найдутся две параллельные стороны.

На отрезке  [0, 1]  числовой оси расположены четыре точки: <i>a, b, c, d</i>.

Докажите, что найдётcя такая точка <i>x</i>, принадлежащая  [0, 1],  что   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/98260/problem_98260_img_2.png">  

Может ли случиться, что шесть попарно непересекающихся параллелепипедов расположены в пространстве так, что из некоторой им не принадлежащей точки пространства не видно ни одной из их вершин? (Параллелепипеды непрозрачны.)  

Коэффициенты квадратного уравнения  <i>x</i>² + <i>px + q</i> = 0  изменили не больше чем на 0,001.

Может ли больший корень уравнения измениться больше, чем на 1000?

Рассматривается произвольный многоугольник (возможно, невыпуклый).

  а) Всегда ли найдётся хорда этого многоугольника, которая делит его площадь пополам?

  б) Докажите, что найдётся такая хорда, что площадь каждой из частей, на которые она разбивает многоугольник, не меньше чем &frac13; площади всего многоугольника.   в) Можно ли в пункте б) заменить число &frac13; на большее? (Хордой многоугольника называется отрезок, концы которого принадлежат контуру многоугольника, а сам он целиком принадлежит многоугольнику, включая контур).

Точка <i>P</i> лежит на описанной окружности треугольника <i>ABC</i>. Построим треугольник <i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁, стороны которого параллельны отрезкам <i>PA, PB, PC</i>

(<i>B</i>₁<i>C</i>₁ || <i>PA,  C</i>₁<i>A</i>₁ || <i>PB,  A</i>₁<i>B</i>₁ || <i>PC</i>). Через точки <i>A</i>₁, <i>B</i>₁, <i>C</i>₁ проведены прямые, пар...

В ряд стоят 30 сапог: 15 левых и 15 правых. Докажите, что среди некоторых десяти подряд стоящих сапог левых и правых поровну.