Олимпиадные задачи по теме «Доказательство от противного» для 11 класса - сложность 3 с решениями

В футбольном чемпионате участвуют 18 команд. На сегодняшний день проведено 8 туров (в каждом туре все команды разбиваются на пары и в каждой паре команды играют друг с другом, причём пары не повторяются). Верно ли, что найдутся три команды, которые не сыграли ни одного матча между собой?

Даны многочлен <i>P</i>(<i>x</i>) и такие числа  <i>a</i>₁, <i>a</i>₂, <i>a</i>₃, <i>b</i>₁, <i>b</i>₂, <i>b</i>₃,  что  <i>a</i>₁<i>a</i>₂<i>a</i>₃ ≠ 0.  Оказалось, что  <i>P</i>(<i>a</i>₁<i>x + b</i>₁) + <i>P</i>(<i>a</i>₂<i>x + b</i>₂) = <i>P</i>(<i>a</i><sub>3&lt...

Дана пирамида <i>SA</i>₁<i>A</i>₂...<i>A_n</i>, основание которой – выпуклый многоугольник <i>A</i>₁<i>A</i>₂...<i>A_n</i>. Для каждого  <i>i</i> = 1, 2, ..., <i>n</i>  в плоскости основания построили треугольник <i>X_iA_iA</i>_<i>i</i>+1, равный треугольнику <i>SA_iA</i>_<i>i</i>+1 и лежащий по ту же сторону от прямой <i>A_iA</i><sub><i>i</i>+1</sub&gt...

Пусть  <i>a</i>₁, ..., <i>a</i>₁₀  – различные натуральные числа, не меньшие 3, сумма которых равна 678. Может ли сумма остатков от деления некоторого натурального числа <i>n</i> на 20 чисел  <i>a</i>₁, <i>a</i>₂, ..., <i>a</i>₁₀, 2<i>a</i>₁, 2<i>a</i>₂,..., 2<i>a</i>₁₀  равняться 2012?

Внутри круга отмечены 100 точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой.

Докажите, что их можно разбить на пары и провести прямую через каждую пару так, чтобы все точки пересечения прямых были в круге.

После обеда на <i>прозрачной</i> квадратной скатерти остались тёмные пятна общей площади <i>S</i>. Оказалось, что если сложить скатерть пополам вдоль любой из двух линий, соединяющих середины противоположных её сторон, или же вдоль одной из двух её диагоналей, то общая видимая площадь пятен будет равна <i>S</i>₁. Если же сложить скатерть пополам вдоль другой её диагонали, то общая видимая площадь пятен останется равна <i>S</i>. Какое наименьшее значение может принимать величина  <i>S</i>₁ : <i>S</i>?

Для натурального <i>a</i> обозначим через <i>P</i>(<i>a</i>) наибольший простой делитель числа  <i>a</i>² + 1.

Докажите, что существует бесконечно много таких троек различных натуральных чисел <i>a, b, c</i>, что  <i>P</i>(<i>a</i>) = <i>P</i>(<i>b</i>) = <i>P</i>(<i>c</i>).

В Академии Наук 999 академиков. Каждая научная тема интересует ровно троих академиков, и у каждых двух академиков есть ровно одна тема, интересная им обоим. Докажите, что можно выбрать 250 тем из их общей области научных интересов так, чтобы каждый академик интересовался не более чем одной из них.

Существует ли выпуклый <i>N</i>-угольник, все стороны которого равны, а все вершины лежат на параболе  <i>y = x</i>²,  если

  а)  <i>N</i> = 2011;

  б)  <i>N</i> = 2012?

В каждой клетке квадратной таблицы написано по действительному числу. Известно, что в каждой строке таблицы сумма <i>k</i> наибольших чисел равна <i>a</i>, а в каждом столбце таблицы сумма <i>k</i> наибольших чисел равна <i>b</i>.

  а) Докажите, что если  <i>k</i> = 2,  то  <i>a = b</i>.

  б) В случае  <i>k</i> = 3  приведите пример такой таблицы, для которой  <i>a ≠ b</i>.

Даны пять различных положительных чисел, сумма квадратов которых равна сумме всех десяти их попарных произведений.   а) Докажите, что среди пяти данных чисел найдутся три, которые не могут быть длинами сторон одного треугольника.

  б) Докажите, что таких троек найдется не менее шести (тройки, отличающиеся только порядком чисел, считаем одинаковыми).

Числа от 51 до 150 расставлены в таблицу 10×10. Может ли случиться, что для каждой пары чисел <i>a, b</i>, стоящих в соседних по стороне клетках, хотя бы одно из уравнений  <i>x</i>² – <i>ax + b</i> = 0  и  <i>x</i>² – <i>bx + a</i> = 0  имеет два целых корня?

Обозначим через <i>S</i>(<i>m</i>) сумму цифр натурального числа <i>m</i>. Докажите, что существует бесконечно много таких натуральных <i>n</i>, что  <i>S</i>(3<i>ⁿ</i>) ≥ <i>S</i>(3^<i>n</i>+1).

Последовательность натуральных чисел <i>a_n</i> строится следующим образом: <i>a</i>₀ – некоторое натуральное число;  <i>a</i>_<i>n</i>+1 = &frac15; <i>a_n</i>,  если <i>a_n</i> делится на 5;

<i>a</i>_<i>n</i>+1 = [<img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/109784/problem_109784_img_2.gif"> <i>a_n</i>],  если <i>a_n</i> не делится на 5. Докажите, что начиная с некоторого члена последовательность <i>a_n</i> возрастает.

Во всех рациональных точках действительной прямой расставлены целые числа.

Докажите, что найдётся такой отрезок, что сумма чисел на его концах не превосходит удвоенного числа в его середине.

Существуют ли три натуральных числа, больших 1 и таких, что квадрат каждого из них, уменьшенный на единицу, делится на каждое из остальных?

В стране 1993 города, и из каждого выходит не менее 93 дорог. Известно, что из каждого города можно проехать по дорогам в любой другой.

Докажите, что это можно сделать не более, чем с 62 пересадками. (Дорога соединяет между собой два города.)

Все целые числа произвольным образом разбиты на две группы. Доказать, что хотя бы в одной из групп найдутся три числа, одно из которых есть среднее арифметическое двух других.

Существуют ли такие две функции  <i>f</i> и <i>g</i>, принимающие только целые значения, что для любого целого <i>x</i> выполнены соотношения:

  а)  <i>f</i>(<i>f</i>(<i>x</i>)) = <i>x,  g</i>(<i>g</i>(<i>x</i>)) = <i>x,   f</i>(<i>g</i>(<i>x</i>)) > <i>x,  g</i>(<i>f</i>(<i>x</i>)) > <i>x</i>?

  б)  <i>f</i>(<i>f</i>(<i>x</i>)) < <i>x, g</i>(<i>g</i>(<i>x</i>)) < <i>x</i>,   <i>f</i>(<i>g</i>(<i>x</i>)) > <i>x,  g</i>(<i>f</i>(<i>x&...

Известно, что число 2³³³ имеет 101 цифру и начинается с цифры 1. Сколько чисел в ряду 2, 4, 8, 16, ..., 2³³³ начинается с цифры 4?

Даны две таблицы <i>A</i> и <i>B</i>, в каждой <i>m</i> строк и <i>n</i> столбцов. В каждой клетке каждой таблицы записано одно из чисел 0 или 1, причём в строках таблиц числа не убывают (при движении по строке слева направо), и в столбцах таблиц числа не убывают (при движении по столбцу сверху вниз). Известно, что при любом <i>k</i> от 1 до <i>m</i> сумма чисел в верхних <i>k</i> строках таблицы <i>A</i> не меньше суммы чисел в верхних <i>k</i> строках таблицы <i>B</i>. Известно также, что всего в таблице <i>A</i> столько же единиц, сколько в таблице <i>B</i>. Докажите, что при любом <i>l</i> от 1 до <i>n</i> сумма чисел в...

Лёша задумал двузначное число (от 10 до 99). Гриша пытается его отгадать, называя двузначные числа. Если Гриша правильно называет число, или же одну цифру называет правильно, а в другой ошибается не более чем на единицу, то Лёша отвечает "тепло"; в остальных случаях Лёша отвечает "холодно". (Например, если задумано число 65, то назвав 65, 64, 66, 55 или 75, Гриша услышит в ответ "тепло", а в остальных случаях услышит "холодно".)

  а) Покажите, что нет способа, при котором Гриша гарантированно узнает число, истратив 18 попыток.

  б) Придумайте способ, при котором Гриша гарантированно узнает число, истратив 24 попытки (какое бы число ни задумал Лёша).

  в) А за 22 попытки получится?

Клетки доски <i>m</i>×<i>n</i> покрашены в два цвета. Известно, что на какую бы клетку ни поставить ладью, она будет бить больше клеток не того цвета, на котором стоит (клетка под ладьей тоже считается побитой). Докажите, что на каждой вертикали и каждой горизонтали клеток обоих цветов поровну.

В футбольном турнире в один круг участвовало 28 команд. По окончании турнира оказалось, что более ¾ всех игр закончилось вничью.

Докажите, что какие-то две команды набрали поровну очков.

Имеется несколько камней, масса каждого из которых не превосходит 2 кг, а общая масса равна 100 кг. Из них выбирается несколько камней, суммарная масса которых отличается от 10 кг на наименьшее возможное для данного набора число <i>d</i>. Какое максимальное значение может принимать число <i>d</i> для всевозможных наборов камней?