Олимпиадная задача: равновесие цветов на шахматной доске — доказательство

Решение 1:   Впишем в каждую белую клетку число 1, а в каждую чёрную – (–1). Пусть b_i – сумма чисел, стоящих в i-й строке, c_j – сумма чисел, стоящих в j-м столбце, a_ij – число, стоящее на пересечении этих строки и столбца. Легко проверить, что условие эквивалентно выполнению неравенств  a_ij(b_i + c_j) ≤ 0  при всех i и j. (Действительно, разность между количествами белых и чёрных клеток, которые бьёт ладья с клетки  (i, j),  равна  b_i + c_j – a_ij.  Если, например,  a_ij = 1,  то  b_i + c_j – 1 < 0   ⇔   b_i + c_j ≤ 0   ⇔   a_ij(b_i + c_j) ≤ 0.)

  Следовательно,   .

  Значит, все суммы b_i и c_j равны нулю.

Решение 2:   Пусть на горизонтали Г белых клеток больше, чем чёрных. Отметим все вертикали, пересекающие Г по белой клетке. На каждой из них чёрных клеток больше половины. Допустим, на другой горизонтали Г' не менее половины клеток чёрные. Тогда какая-то отмеченная вертикаль пересекает Г' по чёрной клетке, и ладья с этой клетки побьёт больше чёрных. Противоречие. Значит, на всех горизонталях белых клеток больше, поэтому белых клеток больше и на всей доске.

  Поставим теперь ладью на белую клетку. Больше чёрных она может побить только за счёт вертикали, то есть на этой вертикали чёрных клеток больше. Рассуждая, как выше, получаем, что и чёрных клеток на всей доске больше, чем белых. Противоречие.

Ответ задачи отсутствует