Олимпиадная задача по математике: инволютивные функции и неравенства для 9-11 класса

  а)  f(x) = f(g(g(x))) > g(x).  Но точно так же доказывается, что  g(x) > f(x).  Противоречие.   б) Достаточно задать значения функций только в целых числах: для остальных значений их можно определить произвольно.   Первый способ. Назовём чётные числа "своими", а нечётные – "чужими" для функции  f, а для g – всё наоборот. Пусть эти функции каждое своё число x переводят в  – |x| – 2,  а чужое – в  |x| + 1.  Заметим, что каждая функция каждое число переводит в своё. Проверим два неравенства, где внутренняя функция –  f. Ясно, что  |f(x)| > |x|.  Поэтому  f(f(x)) = – |f(x)| – 2 < – |x| – 2 < x,  а  g(f(x)) = |f(x)| + 1 > |x| + 1 > x.  Оставшиеся два неравенства проверяются аналогично.   Второй способ. Занумеруем все целые числа натуральными (например, так:  x₁ = 0,  x₂ = 1,  x₃ = –1,  x₄ = 2,  x₅ = –2  и т.д.). Будем строить значения  f(x_n), g(x_n) по индукции; причём все они будут различны. Обозначим  X_n = {x₁, ..., x_n},  V_n = {f(x₁), ..., f(x_n), g(x₁), ..., g(x_n)}.

  База.  f(x₁) и g(x₁) – произвольные различные целые числа, отличные от x₁.

  Шаг индукции. Пусть все элементы V_n уже построены. Если  x_n+1 ∉ V_n,  то в качестве  f(x_n+1) и g(x_n+1) возьмём произвольные различные целые числа, не входящие ни в X_n+1, ни в V_n.

  Если же  x_n+1 ∈ V_n,  то  x_n+1 = f(x_i)  или  x_n+1 = g(x_i),  где  i ≤ n.  В первом случае в качестве  f(x_n+1) возьмём целое число, меньшее x_i и не входящее в

X_n ∪ V_n,  а в качестве g(x_n+1) – целое число, большее x_i и не входящее в  X_n ∪ V_n.  Тогда  f(f(x_i)) < x_i,  g(f(x_i)) > x_i.  Во втором случае поступим наоборот, обеспечив неравенства  g(g(x_i)) < x_i,   f(g(x_i)) > x_i.

  В результате все значения функций будут построены и все неравенства будут выполнены.

а) Не существуют;  б) существуют.