Задача
Имеется несколько камней, масса каждого из которых не превосходит 2 кг, а общая масса равна 100 кг. Из них выбирается несколько камней, суммарная масса которых отличается от 10 кг на наименьшее возможное для данного набора число d. Какое максимальное значение может принимать число d для всевозможных наборов камней?
Решение
Пример. Для набора 55 камней весом 20/11 кг число d равно 10/11 (надо взять 5 или 6 камней). Предположим, что для некоторого набора камней весом x1≥x2≥ ... ≥xnчислоdбольше10/11. Выберемkтак, что x1+ ... +xk–1≤ 10 ≤x1+ ... +xk. Согласно предположению x1+ ... +xk−1< 10 −10/11 и x1+ ... +xk> 10 +10/11. Следовательно, xk>20/11. По условию xi≤ 2, поэтому k> 5, то есть k− 1 ≥ 5. Значит, x1+ ... +x5≤x1+ ... +xk−1< 10. С другой стороны, x1+ ... +x5> 5·10/11. Поэтому вес набора первых пяти камней отличается от 10 кг меньше чем на 10 –100/11=10/11кг. Противоречие.
Ответ
10/11.
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь