Олимпиадные задачи по теме «Математический анализ» - сложность 2-4 с решениями

Пусть  <i>x</i>₁, <i>x</i>₂, ..., <i>x</i>_<i>n</i>  – некоторые числа, принадлежащие отрезку  [0, 1].

Докажите, что на этом отрезке найдется такое число <i>x</i>, что   ¹/_<i>n</i> (|<i>x – x</i>₁| + |<i>x – x</i>₂| + ... + |<i>x – x_n</i>|)  = ½.

Коэффициенты квадратного уравнения  <i>ax</i>² + <i>bx + c</i> = 0  удовлетворяют условию  2<i>a</i> + 3<i>b</i> + 6<i>c</i> = 0.

Докажите, что это уравнение имеет корень на интервале  (0, 1).

Даны многочлен <i>P</i>(<i>x</i>) и такие числа  <i>a</i>₁, <i>a</i>₂, <i>a</i>₃, <i>b</i>₁, <i>b</i>₂, <i>b</i>₃,  что  <i>a</i>₁<i>a</i>₂<i>a</i>₃ ≠ 0.  Оказалось, что  <i>P</i>(<i>a</i>₁<i>x + b</i>₁) + <i>P</i>(<i>a</i>₂<i>x + b</i>₂) = <i>P</i>(<i>a</i><sub>3&lt...

а) В бесконечной последовательности бумажных прямоугольников площадь <i>n</i>-го прямоугольника равна <i>n</i>². Обязательно ли можно покрыть ими плоскость? Наложения допускаются.б) Дана бесконечная последовательность бумажных квадратов. Обязательно ли можно покрыть ими плоскость (наложения допускаются), если известно, что для любого числа <i>N</i> найдутся квадраты суммарной площади больше <i>N</i>?

Учитель написал на доске в алфавитном порядке все возможные 2<i>ⁿ</i> слов, состоящих из <i>n</i> букв А или Б. Затем он заменил каждое слово на произведение <i>n</i> множителей, исправив каждую букву А на <i>x</i>, а каждую букву Б – на  (1 – <i>x</i>),  и сложил между собой несколько первых из этих многочленов от <i>x</i>. Докажите, что полученный многочлен представляет собой либо постоянную, либо возрастающую на отрезке  [0, 1]  функцию от <i>x</i>.

Про бесконечный набор прямоугольников известно, что в нём для любого числа <i>S</i> найдутся прямоугольники суммарной площади больше <i>S</i>.

  а) Обязательно ли этим набором можно покрыть всю плоскость, если при этом допускаются наложения?

  б) Тот же вопрос, если дополнительно известно, что все прямоугольники в наборе являются квадратами.

На доске написаны девять приведённых квадратных трёхчленов:  <i>x</i>² + <i>a</i>₁<i>x + b</i>₁,  <i>x</i>² + <i>a</i>₂<i>x + b</i>₂,  ...,  <i>x</i>² + <i>a</i>₉<i>x + b</i>₉. Известно, что последовательности  <i>a</i>₁, <i>a</i>₂, ..., <i>a</i>₉  и  <i>b</i>₁, <i>b</i>₂, ..., <i>b</i>₉  – арифметические прогрессии. Оказалось, что сумма все...

Решите неравенство:  [<i>x</i>]·{<i>x</i>} < <i>x</i> – 1.

Существуют ли такие значения <i>a</i> и <i>b</i>, при которых уравнение   <i>х</i>⁴ – 4<i>х</i>³ + 6<i>х</i>² + <i>aх + b</i> = 0  имеет четыре различных действительных корня?

Последовательность чисел  <i>a</i>₁, <i>a</i>₂, ...  задана условиями  <i>a</i>₁ = 1,  <i>a</i>₂ = 143  и   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116589/problem_116589_img_2.gif">   при всех  <i>n</i> ≥ 2.

Докажите, что все члены последовательности – целые числа.

Ненулевые числа <i>a</i>, <i>b</i>, <i>c</i> таковы, что каждые два из трёх уравнений  <i>ax</i>¹¹ + <i>bx</i>⁴ + <i>c</i> = 0,  <i>bx</i>¹¹ + <i>cx</i>⁴ + <i>a</i> = 0,  <i>cx</i>¹¹ + <i>ax</i>⁴ + <i>b</i> = 0  имеют общий корень. Докажите, что все три уравнения имеют общий корень.

Функция <i>f</i>(<i>x</i>) определена на положительной полуоси и принимает только положительные значения. Известно, что  <i>f</i>(1) + <i>f</i>(2) = 10  и  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116433/problem_116433_img_2.gif">  при любых <i>а</i> и <i>b</i>. Найдите <i>f</i>(2²⁰¹¹).

Целые числа <i>m</i> и <i>n</i> таковы, что сумма   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116373/problem_116373_img_2.gif">   целая. Верно ли, что оба слагаемых целые?

Найдите такое значение $a > 1$,  при котором уравнение  $a^x = \log_a x$  имеет единственное решение.

Функция  <i>f</i>(<i>x</i>) определена для всех <i>x</i>, кроме 1, и удовлетворяет равенству:  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116003/problem_116003_img_2.gif">.  Найдите  <i>f</i>(–1).

Докажите, что если числа <i>x, y, z</i> при некоторых значениях <i>p</i> и <i>q</i> являются решениями системы

     <i>y = xⁿ + px + q,  z = yⁿ + py + q,  x = zⁿ + pz + q</i>,

то выполнено неравенство  <i>x</i>²<i>y + y</i>²<i>z + z</i>²<i>x ≥ x</i>²<i>z + y</i>²<i>x + z</i>²<i>y</i>.

Рассмотрите случаи   а)  <i>n</i> = 2;   б)  <i>n</i> = 2010.

Докажите, что если выражение<i> <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/115447/problem_115447_img_2.gif"> </i>принимает рациональное значение, то и выражение<i> <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/115447/problem_115447_img_3.gif"> </i>также принимает рациональное значение.

Последовательность<i> a₁,a₂,.. </i>такова, что<i> a₁<img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/115397/problem_115397_img_2.gif"></i>(1<i>,</i>2)и<i> a_k+</i>1<i>=a_k+<img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/115397/problem_115397_img_3.gif"> </i>при любом натуральном <i> k </i>. Докажите, что в ней не может существовать более одной пары членов с целой суммой.

На плоскости даны оси координат с одинаковым, но не обозначенным масштабом и график функции <center><i>

y= sin x, x<img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/111925/problem_111925_img_2.gif"></i>(0<i>;α</i>)<i>.

</i></center> Как с помощью циркуля и линейки построить касательную к этому графику в заданной его точке, если: а)<i> α<img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/111925/problem_111925_img_2.gif"></i>(<i><img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/111925/problem_111925_img_3.gif">;π</i>); б)<i> α<img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/111925/problem_111925_img_2.gif">&...

Когда из бассейна сливают воду, уровень<i> h </i>воды в нём меняется в зависимости от времени<i> t </i>по закону <center><i>

h</i>(<i>t</i>)<i>=at²+bt+c,

</i></center> а в момент<i> t₀ </i>окончания слива выполнены равенства<i> h</i>(<i>t₀</i>)<i>=h'</i>(<i>t₀</i>)<i>=</i>0. За сколько часов вода из бассейна сливается полностью, если за первый час уровень воды в нём уменьшается вдвое?

В бесконечной последовательности  (<i>x_n</i>)  первый член <i>x</i>₁ – рациональное число, большее 1, и  <i>x</i>_<i>n</i>+1 = <i>x_n</i> + ¹/_{[<i>x_n</i>]}  при всех натуральных <i>n</i>.

Докажите, что в этой последовательности есть целое число.

Дан квадратный трёхчлен  <i>f</i>(<i>x</i>) = <i>x</i>² + <i>ax + b</i>.  Известно, что для любого вещественного <i>x</i> существует такое вещественное <i>y</i>, что   <i>f</i>(<i>y</i>) = <i>f</i>(<i>x</i>) + <i>y</i>.  Найдите наибольшее возможное значение <i>a</i>.

Последовательность(<i>a_n</i>)задана условиями<i> a₁= </i>1000000,<i> a_n+</i>1<i>=n</i>[<i><img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/111805/problem_111805_img_2.gif"></i>]<i>+n </i>. Докажите, что в ней можно выделить бесконечную подпоследовательность, являющуюся арифметической прогрессией.

Квадратные трёхчлены <i>f</i>(<i>x</i>) и <i>g</i>(<i>x</i>) таковы, что  <i>f</i> '(<i>x</i>)<i>g</i>'(<i>x</i>) ≥ |<i>f</i>(<i>x</i>)| + |<i>g</i>(<i>x</i>)|  при всех действительных <i>x</i>.

Докажите, что произведение <i>f</i>(<i>x</i>)<i>g</i>(<i>x</i>) равно квадрату некоторого трёхчлена.

В треугольнике провели серединные перпендикуляры к его сторонам и измерили их отрезки, лежащие внутри треугольника.

  а) Все три отрезка оказались равны. Верно ли, что треугольник равносторонний?

  б) Два отрезка оказались равны. Верно ли, что треугольник равнобедренный?

  в) Могут ли длины отрезков равняться 4, 4 и 3?