Олимпиадные задачи по теме «Стереометрия» - сложность 5 с решениями

Каждую грань тетраэдра можно поместить в круг радиуса1. Докажите, что весь тетраэдр можно поместить в шар радиуса<i> <img src="/storage/problem-media/111864/problem_111864_img_2.gif"> </i>.

Дана треугольная пирамида. Леша хочет выбрать два ее скрещивающихся ребра и на них, как на диаметрах, построить шары. Всегда ли он может выбрать такую пару, что любая точка пирамиды лежит хотя бы в одном из этих шаров?

Пусть<i> h </i> — наименьшая высота тетраэдра,<i> d </i> — наименьшее расстояние между его противоположными ребрами. При каких<i> t </i>возможно неравенство<i> d>th </i>?

Среди вершин любого ли многогранника можно выбрать четыре вершины тетраэдра, площадь проекции которого на любую плоскость составляет от площади проекции (на ту же плоскость) исходного многогранника: а) больше, чем<i> <img src="/storage/problem-media/111351/problem_111351_img_2.gif"> </i>, б) не меньше, чем<i> <img src="/storage/problem-media/111351/problem_111351_img_3.gif"> </i>, в) не меньше, чем<i> <img src="/storage/problem-media/111351/problem_111351_img_4.gif"> </i>?

Докажите, что следующие свойства тетраэдра равносильны:

1. все грани равновелики;

2. каждое ребро равно противоположному;

3. все грани равны;

4. центры описанной и вписанной сфер совпадают;

5. суммы углов при каждой вершине равны;

6. сумма плоских углов при каждой вершине равна 180<i>^o </i>;

7. развёртка тетраэдра представляет собой остроугольный треугольник, в котором проведены средние линии;

8. все грани – остроугольные треугольники с одинаковым радиусом описанной окружности;

9. ортогональная проекция тетраэдра на каждую из трёх плоскостей, параллельных двум противоположным рёбрам, – прямоугольник;

10. параллелепипед, полученный в результате проведения через противоположные рёбра трёх пар параллельных плоскостей, – прямоугольный;

11...

У выпуклого многогранника2<i>n </i>граней (<i> n<img src="/storage/problem-media/110213/problem_110213_img_2.gif"> </i>3), и все грани являются треугольниками. Какое наибольшее число вершин, в которых сходится ровно 3 ребра, может быть у такого многогранника?

Даны два правильных тетраэдра с ребрами длины<i> <img src="/storage/problem-media/109940/problem_109940_img_2.gif"> </i>, переводящихся один в другой при центральной симметрии. Пусть<i> ϕ </i>– множество середин отрезков, концы которых принадлежат разным тетраэдрам. Найдите объем фигуры<i> ϕ </i>.

В прямоугольном параллелепипеде проведено сечение, являющееся шестиугольником. Известно, что этот шестиугольник можно поместить в некоторый прямоугольник<i> Π </i>. Докажите, что в прямоугольник<i> Π </i>можно поместить одну из граней параллелепипеда.

Докажите, что если два прямоугольных параллелепипеда имеют равные объемы, то их можно расположить в пространстве так, что любая горизонтальная плоскость, пересекающая один из них, будет пересекать и второй, причем по многоугольнику той же площади.

Муха летает внутри правильного тетраэдра с ребром <i>a</i>. Какое наименьшее расстояние она должна пролететь, чтобы побывать на каждой грани и вернуться в исходную точку?

Существует ли такой многогранник и точка вне него, что из этой точки не видно ни одной из его вершин?

Из выпуклого многогранника с 9 вершинами, одна из которых<i>A</i>, параллельными переносами, переводящими<i>A</i>в каждую из остальных вершин, образуется 8 равных ему многогранников. Докажите, что хотя бы два из этих 8 многогранников пересекаются (по внутренним точкам).

Верно ли, что для любых четырёх попарно скрещивающихся прямых можно так выбрать по одной точке на каждой из них, чтобы эти точки были вершинами а) трапеции, б) параллелограмма?

У выпуклого многогранника внутренний двугранный угол при каждом ребре острый. Сколько может быть граней у многогранника?

Около сферы радиуса 10 описан некоторый 19-гранник. Доказать, что на его поверхности найдутся две точки, расстояние между которыми больше 21.

В бесконечно большой каравай, занимающий все пространство, в точках с целыми координатами впечены изюминки диаметра 0,1. Каравай разрезали на части несколькими плоскостями. Доказать, что найдется неразрезанная изюминка.

Поместить в куб окружность наибольшего возможного радиуса.

В треугольной пирамиде все 4 грани имеют одинаковую площадь. Докажите, что они равны.

На какое самое большее число частей можно разбить пространство пятью сферами?

В пространстве расположен правильный додекаэдр. Сколькими способами можно провести плоскость так, чтобы она высекла на додекаэдре правильный шестиугольник?

В пространстве расположены 3 плоскости и шар. Сколькими различными способами можно поместить в пространстве второй шар так, чтобы он касался трёх данных плоскостей и первого шара? (<i>В этой задаче речь фактически идёт о касании сфер, т.е. не предполагается, что шары могут касаться только внешним образом — прим. ред.</i>)

а) На плоскости даны<i>n</i>векторов, длина каждого из которых<nobr>равна 1.</nobr>Сумма всех<i>n</i>векторов равна нулевому вектору. Докажите, что векторы можно занумеровать так, чтобы при всех<nobr><i>k</i> = 1,</nobr>2, ...,<i>n</i>выполнялось следующее условие: длина суммы первых<nobr><i>k</i> векторов</nobr>не<nobr>превышает 3.</nobr>б) Докажите аналогичное утверждение для <i>n</i> векторов с <nobr>суммой 0,</nobr> длина каждого из которых не <nobr>превосходит 1.</nobr> в) Можно ли заменить <nobr>число 3</nobr> в <nobr>пункте а)</nobr> меньшим? Постарайтесь улучшить оценку и в <nobr>пункте б).</nobr>

Предлагается построить<i>N</i>точек на плоскости так, чтобы все расстояния между ними равнялись заранее заданным числам: для любых двух точек<i>M</i>_<i>i</i>и<i>M</i>_<i>j</i>, где<i>i</i>и<nobr><i>j</i> —</nobr>любые числа<nobr>от 1</nobr><nobr>до <i>N</i>.</nobr>Можно ли провести построение, если расстояния <i>r</i>_<i>ij</i> заданы так, что всякие 5 из <i>N</i> точек построить можно? б) Достаточно ли требовать, чтобы можно было построить всякие 4 из <nobr><i>N</i> точек?</nobr> в) Что изменится, если строить точки не на плоскости, а...

Какое наибольшее число точек можно разместить<nobr>a) на</nobr>плоскости;<nobr>б)* в</nobr>пространстве так, чтобы ни один из треугольников с вершинами в этих точках не был тупоугольным? (Разумеется, в условии подразумевается, что никакие три точки не должны лежать на одной прямой – без этого ограничения можно разместить сколько угодно точек.)

Если на каждой грани выпуклого многогранника выбрать по точке и провести из этой точки направленный перпендикулярно соответствующей грани во внешнюю сторону вектор, длина которого равна площади этой грани, то сумма всех таких векторов окажется равна нулю. Докажите это.