Ответ:30 способами. Прежде всего заметим, что для каждой из 10 больших диагоналей додекаэдра есть ровно три различных плоскости, перпендикулярных этой диагонали и высекающих правильный шестиугольник. Действительно, будем двигать плоскость, перпендикулярную диагонали, от одной вершины к другой. Сначала в сечении будет правильный треугольник, потом неправильный шестиугольник, который в определённый момент станет правильным, потом снова неправильный шестиугольник, который станет правильным, когда мы дойдём до центра додекаэдра; после этого всё повторится в обратном порядке. Остаётся проверить, что плоскость, не перпендикулярная большим диагоналям додекаэдра, не может высекать правильный шестиугольник. Для этого нужно рассмотреть следующие случаи: 1) параллельные стороны правильного шестиугольника лежат на двух смежных гранях; 2) параллельные стороны шестиугольника лежат на двух несмежных гранях, граничащих с одной и той же гранью; 3) параллельные стороны шестиугольника лежат на двух противоположных гранях. Первый случай невозможен. Второй случай легко разбирается. В третьем случае, если учесть второй, то окажется, что каждая пара параллельных сторон лежит на противоположных гранях. Этот случай теперь тоже несложно разобрать.

Ответ задачи отсутствует