Ответ:от 0 до 16 (в зависимости от расположения данных плоскостей и шара).

ПустьOиR— центр и радиус данной сферыS. Предположим, что сфераS₁с центромO₁касается данной сферы и трёх данных плоскостей. Сопоставим сфереS₁сферуS₁' с центромO₁и радиусомO₁O. СфераS₁' проходит через данную точкуOи касается трёх плоскостей, удалённых от данных плоскостей на расстояниеR. Для каждой плоскости есть ровно две плоскости, удалённых от неё на расстояниеR. Поэтому сфераS₁' проходит через данную точкуOи касается тройки плоскостей, причём есть 2³= 8 различных таких троек.

Легко проверить, что существует не более двух сфер, проходящих через данную точку и касающихся трёх данных плоскостей. В случае, когда три данные плоскости пересекаются в одной точке, это доказывается следующим образом. Впишем сферу в тот трёхгранный угол, который образован данными плоскостями и содержит данную точку. Проведём прямую, соединяющую данную точку и точку пересечения данных плоскостей. Искомые сферы соответствуют точкам пересечения этой прямой с данной сферой, а таких точек не более двух. Отдельно рассматривается случай, когда данная точка лежит на одной из данных плоскостей. Кроме того, нужно рассмотреть два более простых случая: 1) есть две параллельные плоскости и их пересекает третья плоскость; 2) прямые пересечения плоскостей параллельны. (Легко видеть, что если все три плоскости параллельны или пересекаются по одной прямой, то сфера не может касаться трёх таких плоскостей.)

В итоге мы получаем, что существует не более 16 сферS₁'. По сфереS₁' сфераS₁восстанавливается не однозначно. Чтобы её восстановить, нужно взять точкуO', в которой прямаяOO₁пересекает сферуS; сфераS₁— это сфера с центромO₁и радиусомO₁O'. Точек пересечения сферы с прямой, проходящей через её центр, две, поэтому мы получаем две сферы. Но лишь одна из них может касаться трёх данных плоскостей (вторая сфера касается других плоскостей). Поэтому существует не более 16 сфер, касающихся данной сферы и трёх данных плоскостей.

Покажем теперь, что при различных расположениях данных плоскостей и данной сферы количество сфер, касающихся их, может быть любым целым числом от 0 до 16. Будем считать, что данные плоскости пересекаются по трём параллельным прямым, причём расстояния между этими прямыми попарно различны. Сферы, касающиеся трёх данных плоскостей, заметают четыре цилиндра, соответствующих вписанной и трём вневписанным окружностям треугольника, который образуется при пересечении данных плоскостей плоскостью, ортогональной всем трём данным плоскостям. Эти цилиндры не имеют общих точек, в том числе и точек касания.

Рассмотрим цилиндр и точку вне его. Рассмотрим семейство сферS_Rс центром в выбранной точке. Нас интересуют сферы, вписанные в цилиндр и касающиеся сферыS_R. Если радиусRсферыS_Rмал, то таких сфер нет. Будем увеличивать радиусRдо тех пор, пока сфераS_Rне коснётся цилиндра. В этом случае количество искомых сфер равно 1. Будем снова увеличивать радиусR. Когда сфераS_Rпересечёт цилиндр, количество искомых сфер станет равно 2. Затем сфераS_Rбудет пересекать цилиндр и ещё касаться его в одной точке. В этом случае количество искомых сфер равно 3. Если же радиусRувеличить ещё больше, то количество искомых сфер будет равно 4.

Эти замечания показывают, что если мы выберем точку вне данных четырёх цилиндров и рассмотрим семейство сферS_Rс центром в выбранной точке, то при постепенном увеличении радиусаRмы получим конфигурации, для которых число искомых сфер последовательно изменяется от 0 до 16. Нужно лишь позаботиться о том, чтобы не появлялись одновременно две точки касания сферыS_Rс цилиндрами.

Ответ задачи отсутствует