Олимпиадные задачи по теме «Проективная геометрия» - сложность 4 с решениями

На стороне <i>BC</i> квадрата <i>ABCD</i> выбрали точку <i>M</i>. Пусть <i>X, Y, Z</i> – центры окружностей, вписанных в треугольники <i>ABM, CMD, AMD</i> соответственно; <i>H_x, H_y, H_z</i> – ортоцентры треугольников <i>AXB, CYD, AZD</i> соответственно. Докажите, что точки <i>H_x, H_y, H_z</i> лежат на одной прямой.

Дан правильный 17-угольник <i>A</i>₁... <i>A</i>₁₇. Докажите, что треугольники, образованные прямыми <i>A</i>₁<i>A</i>₄, <i>A</i>₂<i>A</i>₁₀, <i>A</i>₁₃<i>A</i>₁₄ и <i>A</i>₂<i>A</i>₃, <i>A</i>₄<i>A</i>₆, <i>A</i>₁₄<i>A</i>₁₅, равны.

Сфера, вписанная в тетраэдр <i>ABCD</i>, касается его граней в точках <i>A', B', C', D'</i>. Отрезки <i>AA'</i> и <i>BB'</i> пересекаются, и точка их пересечения лежит на вписанной сфере. Доказать, что отрезки <i>CC'</i> и <i>DD'</i> тоже пересекаются на вписанной сфере.

Точки $P$ и $Q$ выбираются на стороне $BC$ треугольника $ABC$ так, что $BP=CQ$. Отрезки $AP$ и $AQ$ в пересечении со вписанной в треугольник окружностью образуют четырехугольник $XYZT$. Найдите геометрическое место точек пересечения диагоналей таких четырехугольников.

Вписанная в треугольник $ABC$ окружность с центром $I$ касается его сторон $BC$, $CA$ и $AB$ в точках $A_1$, $B_1$ и $C_1$ соответственно. Вневписанная окружность с центром $J$ касается стороны $AC$ в точке $B_2$ и продолжений сторон $AB$ и $BC$ в точках $C_2$ и $A_2$ соответственно. Пусть прямые $IB_2$ и $JB_1$ пересекаются в точке $X$, прямые $IC_2$ и $JC_1$ – в точке $Y$, прямые $IA_2$ и $JA_1$ – в точке $Z$. Докажите, что если одна из точек $X$, $Y$, $Z$ лежит на вписанной окружности, то и две другие тоже.

Хорда $PQ$ окружности, описанной около треугольника $ABC$, пересекает стороны $BC$, $AC$ в точках $A'$, $B'$ соответственно. Касательные к окружности в точках $A$ и $B$ пересекаются в точке $X$, а касательные в точках $P$ и $Q$ – в точке $Y$. Прямая $XY$ пересекает $AB$ в точке $C'$. Докажите, что прямые $AA'$, $BB'$ и $CC'$ пересекаются в одной точке.

В треугольнике $ABC$ проведена медиана $AM$ и на ней выбрана точка $D$. Касательные, проведенные к описанной окружности треугольника $BDC$ в точках $B$ и $C$, пересекаются в точке $K$. Докажите, что $DD'$ параллельно $AK$, где $D'$ – точка, изогонально сопряжённая точке $D$ относительно треугольника $ABC$.

В остроугольном треугольнике $ABC$ точки $O$, $I$ – центры описанной и вписанной окружностей, $P$ – произвольная точка на отрезке $OI$, точки $P_A$, $P_B$ и $P_C$ – вторые точки пересечения прямых $PA$, $PB$ и $PC$ с окружностью $ABC$. Докажите. что биссектрисы углов $BP_AC$, $CP_BA$ и $AP_CB$ пересекаются в одной точке, лежащей на прямой $OI$.

Пусть $\gamma_A$, $\gamma_B$, $\gamma_C$ – вневписанные окружности треугольника $ABC$, касающиеся сторон $BC$, $CA$, $AB$ соответственно. Обозначим через $l_A$ общую внешнюю касательную окружностей $\gamma_B$ и $\gamma_C$, отличную от $BC$. Аналогично определим $l_B$, $l_C$. Из точки $P$, лежащей на $l_A$, проведем отличную от $l_A$ касательную к $\gamma_B$ и найдем точку $X$ ее пересечения с $l_C$. Аналогично найдем точку $Y$ пересечения касательной из $P$ к $\gamma_C$ с $l_B$. Докажите, что прямая $XY$ касается $\gamma_A$.

В равнобедренном треугольнике $ABC$ ($AB=AC$) проведена высота $AA_0$. Окружность $\gamma$ с центром в середине $AA_0$ касается прямых $AB$ и $AC$. Из точки $X$ прямой $BC$ проведены две касательные к $\gamma$. Докажите, что эти касательные высекают на прямых $AB$ и $AC$ равные отрезки.

Даны два треугольника $ABC$ и $A'B'C'$. Прямые $AB$ и $A'B'$ пересекаются в точке $C_1$, а параллельные им прямые, проходящие через $C$ и $C'$, соответственно, в точке $C_2$. Точки $A_1$, $A_2$, $B_1$, $B_2$ определяются аналогично. Докажите, что прямые $A_1A_2$, $B_1B_2$, $C_1C_2$ пересекаются в одной точке.

На плоскости нарисованы неравнобедренный треугольник <i>ABC</i> и вписанная в него окружность ω. Пользуясь только линейкой и проведя не более восьми линий, постройте на ω такие точки <i>A′, B′, C′</i>, что лучи <i>B′C′, C′A′, A′B′</i> проходят через <i>A, B, C</i> соответственно.

Пусть <i>AK</i> и <i>BL</i> – высоты остроугольного треугольника <i>ABC</i>, а Ω – вневписанная окружность <i>ABC</i>, касающаяся стороны <i>AB</i>. Общие внутренние касательные к описанной окружности ω треугольника <i>CKL</i> и окружности Ω пересекают прямую <i>AB</i> в точках <i>P</i> и <i>Q</i>. Докажите, что  <i>AP = BQ</i>.

В треугольнике <i>ABC</i> прямая <i>m</i> касается вписанной окружности ω. Прямые, проходящие через центр <i>I</i> окружности ω и перпендикулярные <i>AI, BI, CI</i>, пересекают прямую <i>m</i> в точках <i>A', B', C'</i> соответственно. Докажите, что прямые <i>AA', BB', CC'</i> пересекаются в одной точке.

<i>AA</i>₁, <i>BB</i>₁, <i>CC</i>₁ – высоты треугольника <i>ABC,  B</i>₀ – точка пересечения <i>BB</i>₁ и описанной окружности Ω, <i>Q</i> – вторая точка пересечения Ω и описанной окружности ω треугольника <i>A</i>₁<i>C</i>₁<i>B</i>₀. Докажите, что <i>BQ</i> – симедиана треугольника <i>ABC</i>.

<i>BB</i>₁ и <i>CC</i>₁ – высоты треугольника <i>ABC</i>. Касательные к описанной окружности треугольника <i>AB</i>₁<i>C</i>₁ в точках <i>B</i>₁ и <i>C</i>₁ пересекают прямые <i>AB</i> и <i>AC</i> в точках <i>M</i> и <i>N</i> соответственно. Докажите, что вторая точка пересечения описанных окружностей треугольников <i>AMN</i> и <i>AB</i>₁<i>C</i>₁ лежит на прямой Эйлера треугольника <i>ABC</i>.

Дан неравнобедренный остроугольный треугольник <i>ABC, BB</i>₁ – его симедиана, луч <i>BB</i>₁ вторично пересекает описанную окружность Ω в точке <i>L</i>. Пусть <i>H_A, H_B, H_C</i> – основания высот треугольника <i>ABC</i>, а луч <i>BH_B</i> вторично пересекает Ω в точке <i>T</i>. Докажите, что точки <i>H_A, H_C, T, L</i> лежат на одной окружности.

Шестиугольник <i>ABCDEF</i> вписан в окружность. Известно, что  <i>AB·CF</i> = 2<i>BC·FA</i>,  <i>CD·EB</i> = 2<i>DE·BC</i>,  <i>EF·AD</i> = 2<i>FA·DE</i>.

Докажите, что прямые <i>AD, BE</i> и <i>CF</i> пересекаются в одной точке.

Вписанная окружность остроугольного треугольника <i>ABC</i> касается его сторон <i>AB, BC, CA</i> в точках <i>C</i>₁, <i>A</i>₁, <i>B</i>₁ соответственно. Пусть <i>A</i>₂, <i>B</i>₂ – середины отрезков <i>B</i>₁<i>C</i>₁, <i>A</i>₁<i>C</i>₁ соответственно, <i>O</i> – центр описанной окружности треугольника <i>ABC, P</i> – одна из точек пересечения прямой <i>CO</i> с вписанной окружностью. Прямые <i>PA</i><s...

Дан вписанный четырёхугольник <i>ABCD</i>. Внутри треугольника <i>BCD</i> взяли точку <i>L_a</i>, расстояния от которой до сторон треугольника пропорциональны этим сторонам. Аналогично внутри треугольников <i>ACD, ABD, ABC</i> взяли точки <i>L_b, L_c</i> и <i>L_d</i> соответственно. Оказалось, что четырёхугольник <i>L_aL_bL_cL_d</i> вписанный. Докажите, что у <i>ABCD</i> есть две параллельные стороны.

Дан выпуклый четырёхугольник <i>ABCD</i>. Пусть <i>I</i> и <i>J</i> – центры окружностей, вписанных в треугольники <i>ABC</i> и <i>ADC</i> соответственно, а <i>I_a</i> и <i>J_a</i> – центры вневписанных окружностей треугольников <i>ABC</i> и <i>ADC</i>, вписанных в углы <i>BAC</i> и <i>DAC</i> соответственн). Докажите, что точка <i>K</i> пересечения прямых <i>IJ_a</i> и <i>JI_a</i> лежит на биссектрисе угла <i>BCD</i>.

Проекции двух точек на стороны четырёхугольника лежат на двух различных концентрических окружностях (проекции каждой точки образуют вписанный четырёхугольник, а радиусы соответствующих окружностей различны). Докажите, что четырёхугольник – параллелограмм.

Дана окружность ω и точка <i>A</i> вне её. Через <i>A</i> проведены две прямые, одна из которых пересекает ω в точках <i>B</i> и <i>C</i>, а другая – в точках <i>D</i> и <i>E</i> (<i>D</i> лежит между <i>A</i> и <i>E</i>). Прямая, проходящая через <i>D</i> и параллельная <i>BC</i>, вторично пересекает ω в точке <i>F</i>, а прямая <i>AF</i> – в точке <i>T</i>. Пусть <i>M</i> – точка пересечения прямых <i>ET</i> и <i>BC</i>, а <i>N</i> – точка, симметричная <i>A</i> относительно <i>M</i>. Докажите, что описанная окружность треугольника <i>DEN</i&g...

В окружность <i>S</i> вписан шестиугольник <i>ABCDEF</i>. Докажите, что точки пересечения прямых <i>AB</i> и <i>DE, BC</i> и <i>EF, CD</i> и <i>FA</i> лежат на одной прямой.

Точки <i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>,<i>D</i>лежат на одной прямой. Докажите, что если (<i>ABCD</i>) = 1, то либо<i>A</i>=<i>B</i>, либо<i>C</i>=<i>D</i>.