Задача
AA1, BB1, CC1 – высоты треугольника ABC, B0 – точка пересечения BB1 и описанной окружности Ω, Q – вторая точка пересечения Ω и описанной окружности ω треугольника A1C1B0. Докажите, что BQ – симедиана треугольника ABC.
Решение
Так как точки A1, C1 лежат на окружности с диаметром AC, прямые AC, A1C1 и B0Q пересекаются в радикальном центре N окружностей Ω, ω и этой окружности. Пусть прямая BQ пересекает AC и A1C1 в точках P и M соответственно (см. рис.). Проецируя окружность Ω из точки Q на прямую AC, а затем эту прямую из точки B на A1C1, получаем равенство двойных отношений (A1, C1, M, N) = (C, A, P, N) = (C, A, B, B0) = BC/BA : B0C/D0A. Поскольку точка B0 симметрична ортоцентру H треугольника ABC относительно AC (см. задачу 155463), вторая дробь равна HC/HA = CA1/AC1. Применяя теорему Менелая к треугольнику A1BC1 и прямой AC, получаем, что (A1, C1, M, N) = C1N : A1N, то есть A1M = C1M. Следовательно, BM – медиана треугольника A1BC1 и симедиана треугольника ABC.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь