Докажем, что точка K лежит внутри четырёхугольника ABCD (см. рис.).

  Заметим, что прямые II_a и JJ_a пересекаются в точке A. Поскольку  ∠ICJ + ∠ICI_a = ½ ∠BCD + 90° < 180°  и аналогично  ∠JCI + ∠JCJ_a < 180°,  то точка K лежит внутри угла ICJ, а значит, внутри четырёхугольника AICJ и, тем более, внутри ABCD.

  ∠ICI_a = ∠JCJ_a = 90°. Следовательно, биссектрисы углов ICJ и I>I_aCJ_a лежат на одной прямой. Ниже мы докажем, что  ∠ICA = ∠JCK.  Отсюда следует, что  ∠DCK = ∠DCJ + ½ ∠JCK = ½ ∠DCA + ∠ICA = ½ ∠DCA + ½ ∠BCA = ½ ∠DCB,  что равносильно утверждению задачи.   Указанное равенство можно доказывать по-разному.   Первый способ. Лемма. Пусть биссектрисы углов XOY и X'OY' лежат на прямой l, Z – точка пересечения прямых XX' и YY', Z' – точка пересечения прямых XY' и X'Y. Тогда прямые OZ и OZ' симметричны относительно l.

  Нам достаточно доказать лемму для случая, когда углы XOX' и YOY' – прямые.

  Доказательство. Опустим перпендикуляры OM, OK, OL и OP на прямые XX', X'Y, XY' и YY' соответственно (см. рис.).

  Обозначим  ∠MKY = α,  ∠PKO = β.  Четырёхугольник MKOX' – вписанный, поэтому  ∠MOX' = ∠MKX' = α.  Поскольку  XO ⊥ OX'  и

OM ⊥ XX',  то  ∠MXO = ∠MOX' = α.  Из того, что MXLO – вписанный, следует, что  ∠MLO = ∠MXO = α.

  Четырёхугольник OKYP – вписанный, поэтому  ∠OYP = ∠OKP = β.  Поскольку  YO ⊥ Y'O  и  OP ⊥ YY',  то  ∠POY' = ∠OYP = β.  И, наконец, из того, что OLPY' – вписанный, получим, что  ∠Y'LP = ∠POY' = β.

  Таким образом,  ∠MKP = 90° + α + β = ∠MLP,  следовательно, MKLP – вписанный четырехугольник. Значит,  ∠MKL + ∠MPL = 180°.

  Заметим, что  ∠MKL = α + 90° + ∠OKL = ∠OX'Z + ∠OZ'L   (*)   (в силу вписанности четырёхугольников X'MKO и OKZ'L). Кроме того,

∠MPL = ∠MPO + ∠OPL = ∠MZO + ∠OY'Z'   (**)   (поскольку четырёхугольники MOPZ и OLPY' – вписанные).

  Наконец,  ∠OX'Z + ∠MZO = 180° – ∠ZOX'  и  ∠OY'Z' + ∠OZ'L = 180° – ∠Z'OY'.  Сложив левые и правые части этих равенств и левые и правые части равенств (*) и (**), получим, что  ∠ZOX' + ∠Z'OY' = 180°. Следовательно, прямые Z'O и ZO симметричны относительно биссектрисы углов XOY и X'OY'.

  Другие случаи расположения точек рассматриваются аналогично.   Второй способ. Пусть T, U, V, W – точки пересечения прямых  II_a и CJ_a,  IJ_a и CJ,  I_aJ_a и CJ,  CI_a и IJ_a  соответственно (см. рис.).

  Рассмотрев центральную проекцию прямой II_a на прямую CJ с центром J_a и центральную проекцию прямой CJ на прямую IJ_a с центром I_a,

получаем равенство двойных отношений  (ITI_aA) = (UCVJ) = (UWJ_aK).  Воспользуемся тем, что   а     Кроме того,  sin∠I_aCT = sin∠I_aCJ_a,  sin∠TCA = sin∠J_aCA,  sin∠WCJ_a = sin∠I_aCJ_a,  sin∠WCK = sin∠I_aCK,  sin∠UCK = sin∠JCK

и  sin∠ICI_a = sin∠JCJ_a = 1.  Следовательно,  

  Положим  ∠J_aCI = ∠I_aCJ = t,  ∠ICA = x,  а  ∠JCK = y.  Тогда  ,  откуда (используя формулу синуса разности)  x = y,  то есть  ∠ICA = ∠JCK.

Ответ задачи отсутствует