Задача
BB1 и CC1 – высоты треугольника ABC. Касательные к описанной окружности треугольника AB1C1 в точках B1 и C1 пересекают прямые AB и AC в точках M и N соответственно. Докажите, что вторая точка пересечения описанных окружностей треугольников AMN и AB1C1 лежит на прямой Эйлера треугольника ABC.
Решение
Пусть A0, B0, C0 – середины BC, CA, AB, O, H – центр описанной окружности и ортоцентр треугольника ABC. Заметим, что точки B1, C1 лежат на окружности Ω с диаметром AH, а точки B0, C0 – на окружности ω с диаметром AO. Проекция Z точки A на прямую OH лежит на обеих этих окружностях, то есть Z является центром поворотной гомотетии, переводящей C0 в B0, а C1 в B1 (∠C0ZB0 = ∠A = ∠C1ZB1, а отношения ZB0 : ZB1 и ZC0 : ZC1 равны отношению радиусов ω и Ω). Осталось доказать, что эта поворотная гомотетия переводит M в N, отсюда будет следовать, что описанная окружность треугольника AMN проходит через Z.
Заметим, что точка A0 и центр окружности Ω диаметрально противоположными на окружности девяти точек треугольника ABC. Поэтому прямые A0B1 и A0C1 касаются Ω, то есть совпадают с прямыми B1M и C1N (см. рис.). Спроецировав прямую AC на AB из точки A0, получаем равенство двойных отношений (B0, B1, N, ∞) = (∞, M, C1, C0), или NB0 : NB1 = MC0 : MC1, что и требовалось.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь