Олимпиадные задачи по теме «Тригонометрия» для 10 класса - сложность 4 с решениями
Тригонометрия
НазадКаждую вершину выпуклого четырехугольника площади<i> S </i>отразили симметрично относительно диагонали, не содержащей эту вершину. Обозначим площадь получившегося четырехугольника через<i> S' </i>. Докажите, что<i> <img src="/storage/problem-media/110176/problem_110176_img_2.gif"><</i>3.
Для углов<i> α </i>,<i> β </i>,<i> γ </i>справедливо равенство<i> sinα + sinβ + sinγ <img src="/storage/problem-media/109860/problem_109860_img_2.gif"></i>2. Докажите, что<i> cosα + cosβ + cosγ <img src="/storage/problem-media/109860/problem_109860_img_3.gif"><img src="/storage/problem-media/109860/problem_109860_img_4.gif"> </i>.
Докажите, что<i> sin<img src="/storage/problem-media/109838/problem_109838_img_2.gif"><<img src="/storage/problem-media/109838/problem_109838_img_3.gif"> </i>при0<i><x<<img src="/storage/problem-media/109838/problem_109838_img_4.gif"> </i>.
Решите уравнение<i> cos(cos(cos(cos x)))= sin(sin(sin(sin x))) </i>.
а) Доказать, что из трёх положительных чисел всегда можно выбрать такие два числа <i>x</i> и <i>y</i>, что 0 ≤ <img width="38" height="35" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/79520/problem_79520_img_2.gif"> ≤ 1.
б) Верно ли, что указанные два числа можно выбрать из любых четырёх чисел?
Для любого треугольника можно вычислить сумму квадратов тангенсов половин его углов. Докажите, что эта сумма
а) меньше 2 для любого остроугольного треугольника;
б) не меньше 2 для любого тупоугольного треугольника, величина тупого угла которого больше или равна 2 arctg <sup>4</sup>/<sub>3</sub>; а среди треугольников с тупым углом, меньшим 2 arctg <sup>4</sup>/<sub>3</sub>, имеются и такие, сумма квадратов тангенсов половин углов которых больше 2, и такие, сумма квадратов тангенсов половин углов которых меньше 2.
Для каждого натурального <i>n</i> > 1 существует такое число <i>c<sub>n</sub></i>, что для любого <i>x</i> произведение синуса числа <i>x</i>, синуса числа <i>x</i> + <sup>π</sup>/<sub><i>n</i></sub>, синуса числа
<i>x</i> + <sup>2π</sup>/<sub><i>n</i></sub>, ..., наконец, синуса числа <i>x</i> + <sup>(<i>n</i> – 1)π</sup>/<sub><i>n</i></sub> равно произведению числа <i>c<sub>n</sub></i> на синус числа <i>nx</i>. Докажите это и найдите величину <i>c<sub>n</sub></i>.
Сумма тангенсов углов величиной 1°, 5°, 9°, 13°, ..., 173°, 177°<nobr>равна 45.</nobr>Докажите это.
<img align="RIGHT" src="/storage/problem-media/73564/problem_73564_img_2.gif"><i>n</i>одинаковых монет лежат на столе, образуя замкнутую цепочку. Центры монет образуют выпуклый многоугольник. Сколько оборотов сделает монета такого же размера за время, пока она один раз прокатится по внешней стороне всей цепочки, как показано на рисунке?Как изменится ответ, если радиус этой монеты в <nobr><i>k</i> раз</nobr> больше радиуса каждой из монет цепочки?
Имеются абсолютно точные двухчашечные весы и набор из 50 гирь, веса которых равны $\operatorname{arctg} 1$, $\operatorname{arctg} \frac{1}{2}$, $\operatorname{arctg} \frac{1}{3}$, $\ldots$, $\operatorname{arctg}\frac{1}{50}$. Докажите, что можно выбрать 10 из них и разложить по 5 гирь на разные чаши весов так, чтобы установилось равновесие.
Докажите равенство<div align="CENTER"> $\displaystyle {\frac{2}{\pi}}$ = $\displaystyle \sqrt{\frac{1}{2}}$<sup> . </sup>$\displaystyle \sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \sqrt{\frac{1}{2}}}$<sup> . </sup>$\displaystyle \sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \sqrt{\frac{1}{2}}}}$... </div>
Пусть числа<i>u</i><sub>k</sub>определены как и в предыдущей задаче. Докажите тождества: а)1 -<i>u</i><sub>1</sub>+<i>u</i><sub>2</sub>-<i>u</i><sub>3</sub>+...+<i>u</i><sub>2n</sub>= 2<sup>n</sup>(1 - cos <i>x</i>)(1 - cos 3<i>x</i>)...(1 - cos(2<i>n</i>- 1)<i>x</i>); б)1 -<i>u</i><sub>1</sub><sup>2</sup>+<i>u</i><sub>2</sub><sup>2</sup>-<i>u</i><sub>3</sub><sup>2</sup>+...+<i>u</i><sub>2n</sub><sup>2</sup>= (- 1)<sup>n</sup>${\dfrac{\sin(2n+2)x\cdot \sin(2n+...
<b>Формулы Рамануджана.</b>Докажите следующие тождества: а)$\sqrt[3]{\cos\dfrac{2\pi}{7}}$+$\sqrt[3]{\cos\dfrac{4\pi}{7}}$+$\sqrt[3]{\cos\dfrac{8\pi}{7}}$=$\sqrt[3]{\dfrac{5-3\sqrt[3]7}{2}}$; б)$\sqrt[3]{\cos\dfrac{2\pi}{9}}$+$\sqrt[3]{\cos\dfrac{4\pi}{9}}$+$\sqrt[3]{\cos\dfrac{8\pi}{9}}$=$\sqrt[3]{\dfrac{3\sqrt[3]9-6}{2}}$.
Упростите выражения: а)sin${\dfrac{\pi}{2n+1}}$sin${\dfrac{2\pi}{2n+1}}$sin${\dfrac{3\pi}{2n+1}}$...sin${\dfrac{n\pi}{2n+1}}$; б)sin${\dfrac{\pi}{2n}}$sin${\dfrac{2\pi}{2n}}$sin${\dfrac{3\pi}{2n}}$...sin${\dfrac{(n-1)\pi}{2n}}$; в)cos${\dfrac{\pi}{2n+1}}$cos${\dfrac{2\pi}{2n+1}}$cos${\dfrac{3\pi}{2n+1}}$...cos${\dfrac{n\pi}{2n+1}}$; г)cos${\dfrac{\pi}{2n}}$cos${\dfrac{2\pi}{2n}}$cos${\dfrac{3\pi}{2n}}$...cos${\dfrac{(n-1)\pi}{2n}}$.
а) Докажите, что при нечётном <i>n</i> > 1 справедливо равенство: <img width="31" height="76" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61146/problem_61146_img_2.gif"><img width="29" height="49" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61146/problem_61146_img_3.gif"> = <img width="25" height="55" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61146/problem_61146_img_4.gif"> – <img width="26" height="55" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61146/problem_61146_img_5.gif">θ (0 < θ < 1).
б) Докаж...
Пусть $\alpha$=$\pi$/7. Докажите, что ${\frac{1}{\sin\alpha }}$=${\frac{1}{\sin 2\alpha }}$+${\frac{1}{\sin 3\alpha }}$.