Сначала покажем, что в данном наборе есть тройки гирь, одна из которых уравновешивает две другие. Все веса не превосходят $\pi/4$, поэтому равенство $$ \operatorname{tg}\left(\operatorname{arctg} \frac{1}{n}+\operatorname{arctg} \frac{1}{m}\right)=\operatorname{tg}\left(\operatorname{arctg} \frac{1}{k}\right) $$ равносильно равенству $\operatorname{arctg} \frac{1}{n}+\operatorname{arctg} \frac{1}{m}=\operatorname{arctg} \frac{1}{k}.$ Воспользовавшись формулой $\operatorname{tg}(x+y)=\frac{\operatorname{tg} x+\operatorname{tg} y}{1-\operatorname{tg} x \cdot \operatorname{tg} y},$ получим $$ \frac{n+m}{n m-1}=\frac{1}{k}, $$ т.е. $nm-k(n+m)=1$. Добавив в этом равенстве к обеим частям $k^{2}$ и разложив на множители, получим $(n-k)(m-k)=k^{2}+1$. Выбирая теперь различные натуральные $k$ и раскладывая $k^{2}+1$ на множители, найдём подходящие тройки, в которых каждое число не превосходит 50. Результат для $k\leqslant5$ и $n< m$ представлен в следующей таблице:

(указанному в таблице значению $n$ соответствует гиря весом $\operatorname{arctg} \frac{1}{n})$.

Таким образом, нам удалось выбрать 10 гирь и разложить по 5 гирь на разные чаши весов так, чтобы установилось равновесие.

Ответ задачи отсутствует