Олимпиадные задачи по теме «Многочлены» для 10-11 класса - сложность 2 с решениями

Найдите наибольшее значение выражения  <i>ab + bc + ac + abc</i>,  если  <i>a + b + c</i> = 12  (<i>a, b</i> и <i>с</i> – неотрицательные числа).

Дан многочлен <i>P</i>(<i>x</i>) с целыми коэффициентами. Известно, что  <i>Р</i>(1) = 2013,  <i>Р</i>(2013) = 1,  <i>P</i>(<i>k</i>) = <i>k</i>,  где <i>k</i> – некоторое целое число. Найдите <i>k</i>.

<i>P</i>(<i>x</i>) и <i>Q</i>(<i>x</i>) – приведённые квадратные трёхчлены, имеющие по два различных корня. Оказалось, что сумма двух чисел, получаемых при подстановке корней трёхчлена <i>P</i>(<i>x</i>) в трёхчлен <i>Q</i>(<i>x</i>), равна сумме двух чисел, получаемых при подстановке корней трёхчлена <i>Q</i>(<i>x</i>) в трёхчлен <i>P</i>(<i>x</i>). Докажите, что дискриминанты трёхчленов <i>P</i>(<i>x</i>) и <i>Q</i>(<i>x</i>) равны.

Ненулевые числа <i>a</i> и <i>b</i> таковы, что уравнение  <i>a</i>(<i>x – a</i>)² + <i>b</i>(<i>x – b</i>)² = 0  имеет единственное решение. Докажите, что  |<i>a| = |b</i>|.

Коэффициенты квадратного уравнения  <i>ax</i>² + <i>bx + c</i> = 0  удовлетворяют условию  2<i>a</i> + 3<i>b</i> + 6<i>c</i> = 0.

Докажите, что это уравнение имеет корень на интервале  (0, 1).

На какую наибольшую степень двойки делится число  10²⁰ – 2²⁰?

Квадратный трёхчлен  <i>ax</i>² + 2<i>bx + c</i>  имеет два различных корня, а квадратный трёхчлен  <i>a</i>²<i>x</i>² + 2<i>b</i>²<i>x + c</i>²  корней не имеет.

Докажите, что у первого трёхчлена корни разного знака.

На координатной плоскости задан график функции  <i>y = kx + b</i>  (см. рисунок). В той же координатной плоскости схематически постройте график функции  <i>y = kx</i>² + <i>bx</i>. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/116806/problem_116806_img_2.gif"></div>

Известно, что модули корней каждого из двух квадратных трёхчленов  <i>x</i>² + <i>ax + b</i>  и  <i>x</i>² + <i>cx + d</i>  меньше 10. Может ли трёхчлен  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116803/problem_116803_img_2.gif">  иметь корни, модули которых не меньше 10?

Для заданных значений <i>a, b, c</i> и <i>d</i> оказалось, что графики функций  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116697/problem_116697_img_2.gif">  и  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116697/problem_116697_img_3.gif">  имеют ровно одну общую точку. Докажите, что графики функций  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116697/problem_116697_img_4.gif">  и  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116697/problem_116697_img_5.gif">  также имеют ровно одну общую точку.

Алёша написал на доске пять целых чисел – коэффициенты и корни квадратного трёхчлена. Боря стёр одно из них. Остались числа 2, 3, 4, –5. Восстановите стёртое число.

Даны два различных приведённых кубических многочлена <i>F</i>(<i>x</i>) и <i>G</i>(<i>x</i>). Выписали все корни уравнений  <i>F</i>(<i>x</i>) = 0,  <i>G</i>(<i>x</i>) = 0,  <i>F</i>(<i>x</i>) = <i>G</i>(<i>x</i>). Оказалось, что выписаны восемь различных чисел. Докажите, что наибольшее и наименьшее из них не могут одновременно являться корнями многочлена <i>F</i>(<i>x</i>).

Даны 10 попарно различных чисел. Для каждой пары данных чисел Вася записал у себя в тетради квадрат их разности, а Петя записал у себя в тетради модуль разности их квадратов. Могли ли в тетрадях у мальчиков получиться одинаковые наборы из 45 чисел?

На доске написаны девять приведённых квадратных трёхчленов:  <i>x</i>² + <i>a</i>₁<i>x + b</i>₁,  <i>x</i>² + <i>a</i>₂<i>x + b</i>₂,  ...,  <i>x</i>² + <i>a</i>₉<i>x + b</i>₉. Известно, что последовательности  <i>a</i>₁, <i>a</i>₂, ..., <i>a</i>₉  и  <i>b</i>₁, <i>b</i>₂, ..., <i>b</i>₉  – арифметические прогрессии. Оказалось, что сумма все...

Приведённый квадратный трёхчлен <i>P</i>(<i>x</i>) таков, что многочлены <i>P</i>(<i>x</i>) и <i>P</i>(<i>P</i>(<i>P</i>(<i>x</i>))) имеют общий корень. Докажите, что  <i>P</i>(0)<i>P</i>(1) = 0.

Решите уравнение в целых числах:  <i>n</i>⁴ + 2<i>n</i>² + 2<i>n</i>² + 2<i>n</i> + 1 = <i>m</i>². 

Решите неравенство:  [<i>x</i>]·{<i>x</i>} < <i>x</i> – 1.

В турнире по волейболу <i>n</i> команд сыграли в один круг (каждая играла с каждой по одному разу, ничьих в волейболе не бывает). Пусть <i>Р</i> – сумма квадратов чисел, задающих количество побед каждой команды, <i>Q</i> – сумма квадратов чисел, задающих количество их поражений. Докажите, что  <i>P = Q</i>.

Найдите значение выражения  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116618/problem_116618_img_2.gif"> .

Петя выбрал натуральное число  <i>a</i> > 1  и выписал на доску пятнадцать чисел  1 + <i>a</i>,  1 + <i>a</i>²,  1 + <i>a</i>³,  ...,  1 + <i>a</i>¹⁵.  Затем он стёр несколько чисел так, что каждые два оставшихся числа взаимно просты. Какое наибольшее количество чисел могло остаться на доске?

Числа <i>a</i> и <i>b</i> таковы, что   <i>a</i>³ – <i>b</i>³ = 2,  <i>a</i>⁵ – <i>b</i>⁵ ≥ 4.   Докажите, что  <i>a</i>² + <i>b</i>² ≥ 2.

Сколько существует таких натуральных <i>n</i>, не превосходящих 2012, что сумма  1^<i>n</i> + 2^<i>n</i> + 3^<i>n</i> + 4^<i>n</i>  оканчивается на 0?

Прямая пересекает график функции  <i>y = x</i>²  в точках с абсциссами <i>x</i>₁ и <i>x</i>₂, а ось абсцисс – в точке с абсциссой <i>x</i>₃. Докажите, что   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116488/problem_116488_img_2.gif"> .

Известно, что выражения  4<i>k</i> + 5  и  9<i>k</i> + 4  при некоторых натуральных значениях <i>k</i> одновременно являются точными квадратами. Какие значения может принимать выражение  7<i>k</i> + 4  при тех же значениях <i>k</i>?

Найдите наибольшее значение выражения  <i>x</i>²<i>y</i> – <i>y</i>²<i>x</i>,  если  0 ≤ <i>x</i> ≤ 1  и  0 ≤ <i>y</i> ≤ 1.