Олимпиадные задачи по теме «Многочлены» для 1-6 класса - сложность 2 с решениями

Можно ли в записи  2013² – 2012² – ... – 2² – 1²  некоторые минусы заменить на плюсы так, чтобы значение получившегося выражения стало равно 2013?

Два приведённых квадратных трёхчлена имеют общий корень, а дискриминант их суммы равен сумме их дискриминантов.

Докажите, что тогда дискриминант хотя бы одного из этих двух трёхчленов равен нулю.

В кафе Цветочного города автомат выдаёт пончик, если ввести в него число <i>x</i>, при котором значение выражения  <i>x</i>² – 9<i>x</i> + 13  отрицательно. А если ввести число <i>x</i>, при котором отрицательно значение выражения  <i>x</i>² + <i>x</i> – 5,  то автомат выдаёт сироп. Сможет ли Незнайка, введя в автомат всего одно число, получить и то и другое?

Шестизначное число начинается с цифры 5. Верно ли, что к нему всегда можно приписать справа шесть цифр так, чтобы получился полный квадрат?

Чему равно произведение   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/88272/problem_88272_img_2.gif">

Замените $\ast$ одинаковыми числами так, чтобы равенство стало верным: $$\frac{20}{\ast} - \frac{\ast}{15} = \frac{20}{15}$$

На каждой из ста карточек записано по одному числу, отличному от нуля, так, что каждое число равно квадрату суммы всех остальных.

Какие это числа?

Разложить на множители выражение $x^3 + y^3 + z^3 - 3 x y z$.

Решить в натуральных числах систему

  <i>a</i>² + <i>b – c</i> = 100,

  <i>a + b</i>² – <i>c</i> = 124.

Решить в натуральных числах уравнение  1 + <i>x</i> + <i>x</i>² + <i>x</i>³ = 2<i>^y</i>.

Решить в натуральных числах уравнение  3^<i>n</i> + 55 = <i>m</i>².

Решить в простых числах уравнение  <i>pqr</i> = 7(<i>p + q + r</i>).

Найти наименьшее значение выражения  |36^<i>k</i> – 5^<i>l</i>|  (<i>k, l</i> – натуральные числа).

Найти все натуральные <i>n</i>, для которых  2^<i>n</i> + 33  – точный квадрат.

Доказать, что  3^{2^<i>n</i>} – 1   a) делится на 2^<i>n</i>+2;   б) не делится на 2^<i>n</i>+3.

Доказать, что существует бесконечно много натуральных чисел, не представимых в виде  <i>n</i>² + <i>p</i>  (<i>p</i> – простое).

Доказать, что уравнение  <i>x</i>² + 1990 = <i>y</i>²  не имеет решений в целых числах.

Решить в целых числах:  2<i>x</i> + 5<i>y = xy</i> – 1.

Доказать, что в любой бесконечной арифметической прогрессии из натуральных чисел

  a) имеется бесконечно много составных чисел.

  б) имеется или бесконечно много квадратов, или ни одного.

Доказать, что при чётном <i>n</i>   20^<i>n</i> + 16^<i>n</i> – 3^<i>n</i> – 1  делится на 323.

Доказать, что для любого<i>n</i> ¹/₈₁(10^<i>n</i>– 1) –^<i>n</i>/₉  – целое число.

Доказать, что для любого <i>n</i>

  а)  7^2<i>n</i> – 4^2<i>n</i>  делится на 33;

  б)  3^6<i>n</i> – 2^6<i>n</i>  делится на 35.

Из полного 100-вершинного графа выкинули 98 рёбер. Доказать, что он остался связным.

Докажите, что   <img width="348" height="56" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/30922/problem_30922_img_2.gif">

<i>x, y, z</i>   положительные числа. Докажите неравенство   <img width="202" height="45" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/30921/problem_30921_img_2.gif">