Олимпиадные задачи по теме «Комплексные числа» для 9 класса - сложность 3 с решениями

Докажите следующие равенства: а)   <img align="middle" src="/storage/problem-media/85241/problem_85241_img_2.gif">

б)   <img align="middle" src="/storage/problem-media/85241/problem_85241_img_3.gif">

в)   <img align="middle" src="/storage/problem-media/85241/problem_85241_img_4.gif">

Докажите, что ни при каком целом <i>A</i> многочлен  3<i>x</i>^2<i>n</i> + <i>Ax</i>^<i>n</i> + 2  не делится на многочлен  2<i>x</i>^2<i>m</i> + <i>Ax</i>^<i>m</i> + 3.

Куда переходит полоса  2 < Re <i>z</i> < 3  при отображениях:

  а)  <i>w = z</i>^–1;   б)  <i>w</i> = (<i>z</i> – 2)^–1;   в)  <i>w</i> = (<i>z</i> – ⁵/₂)^–1?

Постройте образ квадрата с вершинами  <i>A</i>(0, 0),  <i>B</i>(0, 2),  <i>C</i>(2, 2),  <i>D</i>(2, 0)  при следующих преобразованиях:

  а)  <i>w = iz</i>;   б)  <i>w</i> = 2<i>iz</i> – 1;   в)  <i>w = z</i>²;   г)  <i>w = z</i>^–1.

Докажите при помощи комплексных чисел, что композицией двух гомотетий является гомотетия или параллельный перенос:   <img align="absMIDDLE" src="/storage/problem-media/61154/problem_61154_img_2.gif">   причём в первом случае вектор <i>a</i> параллелен прямой <i>A</i>₁<i>A</i>₂, а во втором случае центр результирующей гомотетии <i>A</i> лежит на прямой <i>A</i>₁<i>A</i>₂ и  <i>k = k</i>₁<i>k</i>₂.  Здесь  <img align="absMIDDLE" src="/storage/problem-media/61154/problem_61154_img_3.gif">  обозначает гомотетию...

<з>Выразите в виде  <i>w = f</i>(<i>z</i>)  следующие геометрические преобразования:   а)  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61152/problem_61152_img_2.gif">  б)  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61152/problem_61152_img_3.gif">  в)  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61152/problem_61152_img_4.gif">  г)  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61152/problem_61152_img_5.gif">;   д)  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61152/problem_61152_img_6.gif">  е)  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61152/problem_61152_img_7.gif"&gt...

Найдите все корни уравнения  (<i>z</i> – 1)^<i>n</i> = (<i>z</i> + 1)^<i>n</i>.

Чему равна сумма квадратов корней данного уравнения?

Докажите, что корни уравнения  <img align="absMIDDLE" src="/storage/problem-media/61134/problem_61134_img_2.gif">  где <i>a, b, c</i> – попарно различные комплексные числа, лежат внутри треугольника с вершинами в точках <i>a, b, c</i>, или на его сторонах (в случае вырожденного треугольника).

а) Докажите равенство   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61128/problem_61128_img_2.gif"> б) Вычислите суммы   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61128/problem_61128_img_3.gif">

а) Докажите равенство   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61127/problem_61127_img_2.gif"> б) Вычислите сумму   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61127/problem_61127_img_3.gif">

а) Докажите равенство:   cos φ + ... + cos <i>n</i>φ = <img width="115" height="58" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61123/problem_61123_img_2.gif">;

б) Вычислите сумму:   sinφ + ... + sin <i>n</i>φ.

Докажите, что произвольный многочлен с действительными коэффициентами можно разложить в произведение многочленов первой и второй степени, которые также будут иметь действительные коэффициенты.

Пусть <i>a, b</i> – натуральные числа и  (<i>a, b</i>) = 1.  Докажите, что величина  <img align="absMIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61111/problem_61111_img_2.gif">  не может быть действительным числом за исключением случаев

(<i>a, b</i>) = (1, 1), (1,3), (3,1).

Известно, что  <i>z + z</i>^–1 = 2 cos α.

  а) Докажите, что  <i>zⁿ + z^–n</i> = 2 cos <i>n</i>α.

  б) Как выражается  <i>zⁿ + z^–n</i>  через  <i>y = z + z</i>^–1?

а) Используя формулу Муавра, докажите, что  cos <i>nx</i> = <i>T_n</i>(cos <i>x</i>),  sin <i>nx</i> = sin <i>x</i> <i>U</i>_<i>n</i>–1(cos <i>x</i>),  где <i>T_n</i>(<i>z</i>) и <i>U_n</i>(<i>z</i>) – многочлены степени <i>n</i>.

При этом по определению  <i>U</i>₀(z) = 1.

б) Вычислите в явном виде эти многочлены для  <i>n</i> = 0, 1, 2, 3, 4, 5.   Многочлены <i>T_n</i>(<i>z</i>) и <i>U_n</i>(<i>z</i>) называют...

Вычислите

  a)  (1 + <i>i</i>)^<i>n</i>;   б)  <img align="absMIDDLE" src="/storage/problem-media/61093/problem_61093_img_2.gif">   в)  <img align="absMIDDLE" src="/storage/problem-media/61093/problem_61093_img_3.gif">   г)  <img align="absMIDDLE" src="/storage/problem-media/61093/problem_61093_img_4.gif">   д)   (1 + cos φ + <i>i</i>sin φ)^<i>n</i>;   е)   <img align="absMIDDLE" src="/storage/problem-media/61093/problem_61093_img_5.gif">   ж)   <img align="absMIDDLE" src="/storage/problem-media/61093/problem_61093_img_6.gif">

Докажите равенства: а)   <img align="absMIDDLE" src="/storage/problem-media/61092/problem_61092_img_2.gif"> б)   <img align="absMIDDLE" src="/storage/problem-media/61092/problem_61092_img_3.gif">

Найдите сумму степеней порядка <i>s</i> всех корней уравнения  <i>zⁿ</i> = 1,  где <i>s</i> – целое число.

Точка <i>z</i> против часовой стрелки обходит квадрат с вершинами –1 – <i>i</i>,  2 – <i>i</i>,  2 + 2<i>i</i>,  –1 + 2<i>i</i>.  Как при этом ведут себя точки

  a)  <i>z</i>²;   б)  <i>z</i>³;   в)  <i>z</i>^–1?

Пусть точка <i>z</i> движется по единичной окружности против часовой стрелки. Опишите движение следующих точек

  а)  2<i>z</i>²;   б)  <i>z</i> + 3<i>z</i>²;   в) 3<i>z + z</i>²;   г)  <i>z</i>^{– 3};   д)  (<i>z – i</i>)^–1;   е)  (<i>z</i> – 2)^–1;   ж)  <i>Rz</i> + ρ<i>zⁿ</i>  (ρ < <i>R</i>).

Какие множества на комплексной плоскости описываются следующими условиями:

  а)  |<i>z</i>| ≤ 1;   б)  |<i>z – i</i>| ≤ 1;   в)  |<i>z</i>| = <i>z</i>;   г)  <img align="absMIDDLE" src="/storage/problem-media/61070/problem_61070_img_2.gif">   д)  arg <img width="41" height="50" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61070/problem_61070_img_3.gif"> = ^π/₄;   е)  Re <i>z</i>² ≤ 1;   ж)  | <i>iz</i> + 1| = 3;   з)  |<i>z – i</i>| + |<i>z + i</i>| = 2;   и)   Im ¹/_<i>z</i>...