Задача
а) Используя формулу Муавра, докажите, что cos nx = Tn(cos x), sin nx = sin x Un–1(cos x), где Tn(z) и Un(z) – многочлены степени n.
При этом по определению U0(z) = 1.
б) Вычислите в явном виде эти многочлены для n = 0, 1, 2, 3, 4, 5. Многочлены Tn(z) и Un(z) называются многочленами Чебышёва первого и второго рода соответственно.
Решение
а) 
Заменив везде sin2φ на 1 – cos 2φ, получим доказываемо утверждение. б) cos 4φ = 2cos22φ – 1 = 2(2cos2φ – 1)2 – 1 = 8cos4φ – 8cos2φ + 1.
cos 5φ = cos5φ – 10cos3φ sin2φ + 5cos φ sin4φ = cos5φ – 10cos3φ(1 – cos2φ) + 5cos φ (1 – cos2φ)2 = 16cos5φ – 20cos3φ + 5cos φ.
sin 3φ = 3sin φ – 4sin3φ = sin φ (3 – 4 + 4 cos2φ) = sin φ (4cos2φ – 1).
sin 4φ = 2cos 2φ sin 2φ = 4(2cos2φ – 1) cos φ sin φ = sin φ (8 cos3φ – 4cos φ).
sin 5φ = 5cos4φ sin φ – 10cos2φ sin3φ + sin5φ = sin φ (5cos4φ – 10cos2φ(1 – cos2φ) + (1 – cos2φ)2) = sin φ (16cos4φ – 12cos2φ + 1).
sin 6φ = 2sin 3φ cos 3φ = 2sin φ (4cos2φ – 1)(4 cos3φ – 3cos φ) = 2sin φ(16cos5φ – 16cos3φ sin2φ + 3cos φ).
Таким образом, T4(z) = 8z4 – 8z2 + 1, T5(z) = 16z5 – 20z3 + 5z,
U2(z) = 4z2 – 1, U3(z) = 8z3 – 4z, U4(z) = 16z4 – 12z2 + 1, U5(z) = 32z5– 32z3 + 6z.
Ответ
T0(z) = 1, T1(z) = z, T2(z) = z – 1, T3(z) = 4z2 – 3z, T4(z) = 8z4 – 8z2 + 1, T5(z) = 16z5 – 20z3 + 5z,
U1(z) = 2z, U2(z) = 4z2 – 1, U3(z) = 8z3 – 4z, U4(z) = 16z4 – 12z2 + 1, U5(z) = 32z5– 32z3 + 6z.
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь